Hallo,
es ist zu zeigen, dass die Funktion: arccos (x) im Intervall [1,-1] differenzierbar ist und dass gilt: (arccos (x))’ = -1/Sqrt(1-x^2)
Wie kannn ich vorgehen?
Danke für den kleinen Hinweis!
Karl
(arccos (x))’ =-1/Sqrt(1-x^2)
Wie kannn ich vorgehen?
Hi Karl,
der arccos ist die Umkehrfunktion vom cos. Um die Ableitung einer Umkehrfunktion zu kriegen, kann man die Kettenregel verwenden. Ausgangspunkt ist
cos(arcccos(x))=x
wobei das nicht nur für ein bestimmtes x gilt, sondern für alle x∈[-1,1].
Du definierst z(x)=arccos(x), also cos(z(x))=x
Jetzt leitest du beide Seiten nach x ab, und für die linke Seite verwendest du dafür die Kettenregel.
cos’(z(x))z’(x)=1
also
z’(x)=1/cos’(z(x))=-1/sin(z(x))
Jetzt resubstituieren:
\arccos’(x)=-\frac{1}{\sin(\arccos(x))}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
Der Definitionsbereich ist jetzt natürlich nur noch ]-1,1[.
Gruß
hendrik