Differenzieren von Funktionen

Wissenschaft Physik
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Guten Tag zusammen,

ich hätte da ein paar Aufgaben, mit denen ich nicht ganz zurecht komme:

Tut mir leid für die Darstellung, aber ich weiß nicht, wie ich das hinkriegen soll, daß es gut leserlich ist.

(A) Differenzieren Sie die folgenden Funktionen: (Die Ergebnisse sind bekannt, aber nicht der Weg dorthin.)

x
f(x) = ---------
(x^2+1)^2

Ergebnis:
1-3x^2
f’(x) = -----------
(x^2+1)^3

f(x) = cos SQR(x+1)

Ergebnis:
-sin SQR(x+1)
f’(x) = -------------
2 SQR(x+1)

(B) An welchen Stellen ist die folgende Funktion nicht stetig, an welchen nicht differenzierbar? Begründung durch Rechnung:
(Es handelt sich um eine Funktion mit unterschiedlichen Termen für unterschiedliches x)

x+1 für -unendlich

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Du muß die Dvisionsregen anwenden!!
dann ist das ganz einfach. du darfst nicht nenner und zähler differenzieren und das dann als ergebnis hinschreiben, das wäre falsch. bei division und multiplikationen gibt es eine eigene formel.

formel:

u/v = (u´v-u v´)/ v²

x
f(x) = -------- =
(x^2+1)^2

Obiges Bsp: u=x, v=nenner
u´=1, v´=(x²+1)²=2(x²+1)2x (innere ableitung nicht vergessen!!)

Nun einfach in die Formel einsetzen, und du erhälts nach dem Kürzen das untige ergebnis

Beim nächsten: multiplikationsregel:

u v= (u´v+v´u)/2v …dann genauso wie oben vorgehen. im untigen fall ist u und v gleich, du differenzierst die cosinüsse (cos(x+1))´ = -sin(x+1)

f(x) = cos SQR(x+1)

Ergebnis:
-sin SQR(x+1)
f’(x) = -------------
2 SQR(x+1)

(B) An welchen Stellen ist die folgende
Funktion nicht stetig, an welchen nicht
differenzierbar? Begründung durch
Rechnung:
(Es handelt sich um eine Funktion mit
unterschiedlichen Termen für
unterschiedliches x)

x+1 für -unendlich

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So gehts!
Zu A:

Soweit ich mich errinnere (ist schon ein paar Monate her, und als Zivi verlernt man schnell das Denken), lautet die Multiplikationsregel:

f(x)=u*v
==> f’(x)=u’v+v’u

und nicht (wie Dieter sagt)

==> f’(x)=(u’v+v’u) / 2*u

aber da solltest Du vielleicht noch mal in einem schlauen Buch nachsehen.

Ist ja auch egal, denn man braucht für diese Aufgabe gar nicht die Multiplikationsregel. Da ist nämlich gar kein Produkt.

f(x)=cos sqr x+1

Du meinst doch nicht cos(x) * sqr(x+1), oder?

Dann reicht die Kettenregel (innere mal äußere Ableitung), also:

INNERE ist die Ableitung von sqr(x+1), also

1

2 sqr(x+1)

ÄUSSERE ist die Ableitung von cos(…), also

-sin(…)

Das ergibt dann

-sin(sqr(x+1))

2 sqr(x+1)

(B) An welchen Stellen ist die folgende
Funktion nicht stetig, an welchen nicht
differenzierbar? Begründung durch
Rechnung:
(Es handelt sich um eine Funktion mit
unterschiedlichen Termen für
unterschiedliches x)

x+1 für -unendlich 0 h->0

wobei h > R*+ und a in diesem Fall 1 ist.

Für den linksseitigen Limes musst Du f(x)=x+1 benutzen. Du kommst auf den Grenzwert 2.
Für den rechtsseitigen Limes musst Du f(x)=x*x+1 benutzen. Du kommst auch auf den Grenzwert 2.
Der Funktionswert ist natürlich auch 2.

Also ist f über den gesamten Def.bereich stetig.

Differenzierbar an einer Stelle a heisst, dass der Graph bei a EINE bestimmte Steigung hat. (Stetig muss er auch sein.) Erinnerst Du Dich an früher, wo man die Steigung mit Hilfe zweier Punkte bestimmt hat? Einmal (a) und einmal (a+h) oder (a-h), wobei die beiden immer näher aneinander gerückt sind, weil h immer kleiner wurde.
Jetzt muss also die Steigung für a-h und die für a+h gleich sein, damit sich an der Stelle a GENAU EINE Tangente ergibt.

Wenn Du das machst, kommst Du von links her auf die Steigung 1 und von rechts her auf die Steigung 2. Also ist f an der Stelle 1 nicht diff.bar!

(Ich hoffe ich habe mich nicht verrechnet und konnte Dir helfen!)

Viel Erfolg damit…

CU
Sven.

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Vielen Dank an euch beide
Jetzt ist mir die Thematik schon etwas klarer geworden

Bis dann
Martin

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Ah jo sorry, ist bei mir auch schon ne weile her!! aber das prinzip ist wichtig!! (formel nachschlagen) es gibt die divisionsformel und die multiplikationsformel. die meisten fehler werden beim differenzieren bgemacht weil die leute die inneren ableitungen vergessen, die sind aber ganz wichtig!!!