Hallihallo,
ich habe mal eine kleine Frage zum Differenzquotient.
Wir sollen für eine Funktion die Steigung in einem bestimmten Punkt bestimmten, ohne! abzuleiten. Uns wurde als Tipp der Differenzquotient genannt.
Jetzt brauch ich aber 2 Punkte, die nicht so weit entfernt liegen auf der Funktion, weil sonst wäre das ja alles ziemlich ungenau (Die beiden Punkte bilden ja eine Gerade, wenn man sie verbindet. Je weiter die auseinander liegen, liegt diese Gerade ja nicht direkt auf der Funktion).
Welche Punkte müsste ich denn am besten nehmen, damit ich die exakte Steigung in dem Punkt bekomme?
Nehmen wir mal als Beispiel f(x) = x² und ich will die Steigung im Punkt 1 wissen, nehme ich da als „Punkte“ 1 und 1,01? Oder ist 1,01 schon zu weit entfernt so dass es die Sache wieder zu ungenau macht.
Kann mir jemand einen Tipp geben?
moin;
die exakte Steigung bekommst du nur mit der Ableitung heraus.
wählen wir h=0,01 , haben wir deine Punkte, der Anstieg der Sekante zwischen diesen Punkten ergibt sich aus (f(1,01)-f(1))/(1,01-1), dieser Wert wird auch als Differenzenquotient bezeichnet.
Das ist immer noch nicht exakt, um es exakt zu machen, müssen wir das h gegen 0 laufen lassen.
Der (exakte) Anstieg an der Stelle 1 ergibt sich damit über
m_1=\lim_{h\to 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}
Dieser Grenzwert ist der Differentialquotient und ist mit der Ableitung gleichzusetzen.
Jetzt musst du entscheiden, wie genau du arbeiten willst - je kleiner h ist, desto genauer wird der Anstieg an dieser Stelle.
mfG
Hallo auch.
Wenn Du die Steigung im Punkt (a|f(a)) suchst, kannst Du die zwei Punkte
P1(a|f(a))
P2(a+h|f(a+h))
nehmen und die Steigung
\frac{f(a+h)-f(a)}{(a+h)-h} = \frac{f(a+h)-f(a)}{h}
„berechnen“. Dabei setze ich das Verb „berechnen“ in Anfuehrungsstriche, weil die Rechnung symbolisch (in Buchstaben) ablaeuft und zu einem Term fuehrt, der noch die Stelle a und den Abstand h der beiden Punkte enthaelt. Im Beispiel f(x)=x^2 und a=1 kommt 2+h heraus. Diesem Ausdruck kannst Du sofort ansehen, dass er immer naeher an 2 kommt, je kleiner Du den Abstand h waehlst. DAmit ergibt sich, dass die Steigung des Graphen der
Funktion x\mapsto f(x)=x^2 an der Stelle x=1 den Wert 2 hat.
TN
Danke euch beiden! Das ist mir jetzt erst klarer geworden.
Ich habe mich mal an eine andere Aufgabe gesetzt, um das zu üben.
Ich habe versucht bei der Funktion 3x² - 5x -1 an der Stelle x=1 die Steigung zuberechnen.
Ich habe dann so eingesetzt:
=(3(1+h)²-5(1+h)-1-(3*1²-5*1-1))/h
=(3(h²+2h+1)-5-5h-1-3+5+1)/h
=(3h²+6h+3-5h-3)/h
=(3h²+h)/h
=3h+1
Wenn ich jetzt, h gegen 0 laufen lasse, ist es dann 0+1 bzw. 1? Wäre das dann so richtig?
moin;
jap, das ist richtig.
Überprüfe z.B. mit der Ableitung: f’(x)=6x-5, f’(1)=1
mfG
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Hossa 
Zur Berechnung der Steigung einer Fuktion f(x) an der Stelle x=a ist der Differenzenquotient in der üblichen Form
\frac{f(a+h)-f(a)}{h}
nicht gut geeignet. Der Fehler ist nämlich proportional zu h. Selbst bei sehr klein gewähltem h (z.B. h=0.0001) kann die Ungenauigkeit daher recht hoch sein.
Wesentlich genauer ergibt sich die Steigung mit Hilfe von
\frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}
Hier ist der Fehler proportional zu h² und die nummerische Genauigkeit reicht für die meisten Anwendungen völlig aus.
Warum ist das so?
Mit Hilfe der Taylor-Formel kann man näherungsweise schreiben:
f(x\pm h)\approx f(x)\pm h\cdot
f’(x)+\frac{h^2}{2}\cdot f’’(x)\pm\frac{h^3}{6}\cdot
f’’’(x)+\frac{h^4}{24}\cdot f^{(4)}(x)\pm\cdots
Daher gilt für den Zähler des Differenzenquotienten im ersten Fall:
f(a+h)-f(a)=\left[f(a)+hf’(a)+\frac{h^2}{2}f’’(a)+\cdots\right]-f(a)\approx hf’(a)+\frac{h^2}{2}f’’(a)
Dividiert durch h ergibt das den Differenzenquotienten:
\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\approx f’(a)+\frac{h}{2}\cdot f’’(a)+\cdots
Die Abweichung von der tatsächlichen Ableitung ist also proportional zu h.
Im zweiten Fall gilt für den Zähler des Differenzenquotienten:
f(a+h)-f(a-h)
=\left[f(a)+hf’(a)+\frac{h^2}{2}f’’(a)+\frac{h^3}{6}f’’’(a)+\cdots\right]
-\left[f(a)-hf’(a)+\frac{h^2}{2}f’’(a)-\frac{h^3}{6}f’’’(a)+\cdots\right]
=2h\cdot f’(a)+2\cdot\frac{h^3}{6}\cdot f’’’(a)+\cdots
Dividiert durch 2h ergibt das den Differenzenquotienten:
\frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}\approx f’(a)+\frac{h^2}{6}\cdot f’’’(a)+\cdots
Die Abweichung von der tatsächlichen Ableitung ist hier also nur proportional zu h², so dass das Ergebnis erheblich genauer ist!
Viele Grüße
Hase