Eins vorweg, ich konnte leider noch nie ne Vorlesung über Diffgleichungen besuchen (blöde Stundenpläne ^^) und hab jetzt einige Fragen (ich hab n Skript aber es ist immer so ne Sache mit dem Selberbeibringen, da kommen zwangsläufig Fragen auf).
Wieso bedeutet ein System von linearen Diffgleichungen, dass die Lösungen linear sind (blöde FOrmulierung, ich weiß), also dass die Summe zweier Lösungen wieder Lösung ist?
Wieso ist bei Gewöhnlichen Differentialgleichungen, wo man mit y(x) = e^\lambda x ansetzt, die Lösung das charactritische Polynom der FUndamentalform?
Sry wenn die Fragen blöd sind, aber ich steig einfach ned durch.
Deine Fragen sind schwer zu beantworten, wenn man nicht weiß, wie in deinem Skript lineare DGL eingführt werden. Die erste Frage etwa könnte vielleicht so zufriedenstellend beantwortet werden:
Sei a_n(x) y^(n)(x) + … + a_0(x) y(x) = 0 eine lineare DGL und g und h zwei Lösungen davon. Dann ist g+h und k.g (resp. k.h, k \in R) auch eine Lösung, wie man durch Einsetzen unschwer erkennt:
Man könnte es auch so deuten: Die Menge aller Funktionen y, die hier in Frage kommen spannen einen Vektorraum auf und die DGL kann man als DGL-Operator auffassen, der eben linear ist (was zu zeigen nicht schwer ist, siehe oben). Dann entspricht das oben also der Suche nach dem Kern dieses Operators. Naja, und das ganze kann man natürlich auch für vektorwertige Funktionen mehrerer Variablen machen resp. ein System von DGL betrachten.
Die zweite Frage kann ich leider so nicht beantworten. Da bräuchte ich mehr Infos worin das Problem genau liegt.
wenn ich deine 2. Frage richtig verstanden habe, kann ich sie, glaube ich, beantworten.
Wieso ist bei Gewöhnlichen Differentialgleichungen, wo man mit
y(x) = e^\lambda x ansetzt, die Lösung das charactritische
Polynom der FUndamentalform?
Nun ja - stell dir beispielsweise eine ganz einfache DGL der Form y’’’’’ + y’’’ + y’’ + y’ + y = 0 vor.
Nimmst du den Ansatz y(x) = e^(lambda*x) und setzt du ihn in die Gleichung ein, bekommst du: y’(x) = lambda*e^(lambda*x); y’’(x) = lambda^2 * e^(lambda*x) etc…
Wenn du dann das alles in die obige Gleichung einsetzt und das e^(lambda*x) ausklammerst, bekommst du praktisch genau das charakteristische Polynom der DGL, also hier:
lambda^5 + lambda^3 + lambda^2 + lambda + 1 = 0.
War das deine Frage oder habe ich es falsch verstanden?
Wieso bedeutet ein System von linearen Diffgleichungen, dass
die Lösungen linear sind (blöde FOrmulierung, ich weiß), also
dass die Summe zweier Lösungen wieder Lösung ist?
Das stimmt nicht. Da fehlt das wichtige Wörtchen ‚homogen‘.
Eine homogene lineare Differentialgleichung hat die Form
D(x, d/dx, d²/dx², …)y = 0
Ist yh1 eine Lösung und yh2 eine Lösung, dann ist
ayh1+byh2 eine Lösung, da
D(ayh1+byh2) = aDyh1+bDyh2 = 0
Eine inhomogene lineare Differentialgleichung hat die Form
D(x, d/dx, d²/dx², …)y = g(x)
ayh1+byh2 ist keine Lösung mehr, da beim Einsetzen
0 = g(x)
heraus käme. Also benötigt man eine partikuläre Lösung,
Dyp = g(x)
Die allgemeine Lösung ist
y = yp + ayh1+byh2
da
Dy = Dyp + D(ayh1+byh2)
= g + 0
Der homogene Rattenschwanz ayh1+byh2 wird übrigens benötigt, um Anfangs- oder Randbedingungen zu erfüllen.
Na ja, das es Beispiele gibt, glaub ich, aber wieso kommt
IMMER das characteristische Polynom raus?
Bei einer linearen , homogenen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten nutzt man die Eigenschaft der e-Funktion:
(eλx)(n) = λn eλx
Nutzt man dies in jedem Term (Summanden) in dem ein y(n) vorkommt und klammert man dann das eλx aus, bleibt nur der algebraische Ausdruck in λn zurück, da ja die Koeffizienten konstant sind.
Es kommt also nicht immer heraus sondern nur bei diesem Type von Differentialgleichung.
Andere lineare, homogene Differentialgleichungen haben andere Lösungen, z.B.