Gegeben sei der Vektorraum K^n. Mit dem Unterraum
U={X1,…,Xn;X1+…+Xn=0}.
Ich soll nun für K=R (reelle Zahlen) dimU angeben. Nun enthält aber U für K=R nur den 0-Vektor. Theoretisch müsste dieser Raum nun eine Basis haben (weil das ja alle Vektorräume haben). Nun gilt aber auch, dass dimV>=dimU. Das lässt nur zwei Möglichkeiten zu: Entweder ist dimU=0 oder dimU=1. Negative Dimensionen gibt es meines (bescheidenen) Wissen nicht. Wäre dimU=1 der Fall, so würde U=V (in diesem Fall also R) gelten. Dies ist aber offentsichtlich nicht der Fall, also muss dimU=0 gelten. Das würde bedeuten, dass die Basis zu U die leere Menge wäre, sofern die leere Basis überhaupt Basis sein kann, und in der Tat ist die Linearkombination der Leeren Menge 0(per Definition)also würde zumindest die Bedingung, dass die leere Menge U erzeugt hinhauen. Jetzt bleibt noch die Frage ob die leere Menge auch linear unabhängig ist(gibt es dazu vllt irgendeine Definition?) und ob die leere Menge überhaupt eine Basis sein kann. Rein intuitiv kann ich mich mit der Vorstellung, dass die leere Menge eine Basis sein kann nicht ganz anfreunden. Könnt ihr mir helfen?
gruss,
Timo
P.S:Vielleicht habe ich auch die Aufgabe falsch verstanden. Hier mal der Link zum Übungsblatt
http://www.mathematik.uni-kl.de/~gathmann/pdf/blatt9…
Gegeben sei der Vektorraum K^n. Mit dem Unterraum
U={X1,…,Xn;X1+…+Xn=0}.
Ich soll nun für K=R (reelle Zahlen) dimU angeben. Nun enthält
aber U für K=R nur den 0-Vektor.
Wieso denn das? Setz mal n = 2. Dann ist
V = Ganze xy-Ebene („R^2“)
U = {(x, y) | x + y = 0} = zweite Winkelhalbierende
denn alle Vektoren, die x + y = 0 erfüllen, liegen auf der zweiten Winkelhalbierenden (die, die von links oben nach rechts unten verläuft). Da dies eine Gerade ist, ist dim U = 1. Deine Aussage „Nun enthält aber U für K=R nur den 0-Vektor“ stimmt also zumindest in diesem Fall nicht.
Jetzt bleibt noch die
Frage ob die leere Menge auch linear unabhängig ist
Arghhh… Allgemeiner Tip: Wenn Du bei dem Versuch der Lösung einer Aufgabe bei solchen Fragen anlangst, solltest Du lieber über die ganze Aufgabe nochmal nachdenken.
Gruß
Martin
Gegeben sei der Vektorraum K^n. Mit dem Unterraum
U={X1,…,Xn;X1+…+Xn=0}.
Ich soll nun für K=R (reelle Zahlen) dimU angeben. Nun enthält
aber U für K=R nur den 0-Vektor.Wieso denn das? Setz mal n = 2. Dann ist
V = Ganze xy-Ebene („R^2“)
U = {(x, y) | x + y = 0} = zweite Winkelhalbierende
Dann wäre aber aber der Vektorraum R^2. Er soll aber R sein.
Jetzt bleibt noch die
Frage ob die leere Menge auch linear unabhängig istArghhh… Allgemeiner Tip: Wenn Du bei dem Versuch der Lösung
einer Aufgabe bei solchen Fragen anlangst, solltest Du lieber
über die ganze Aufgabe nochmal nachdenken.
Das hast du Recht, deshalb hatte ich ja nochmal den Link zum Übungsblatt gepostet, weil ich dachte, dass ich vielleicht die ganze Aufgabe irgendwie falsch verstehe.
Jetzt sehe ich meinen Fehler. Der Vektorraum soll nicht R sein, sondern der Körper des Vektorraums soll R sein. Ich muss also nicht R als Vektorraum betrachten, sondern R^n.
Danke!
oT Niveauunterschiede
2 Sachen. Erstens merke ich, daß es Unterschiede gibt, im Niveau der Aufgaben (im Vergleich von Unis und zu denen die ich im ersten Semester zu lösen hatte). Und zweitens, daß ich nahezu alle Übungszettel selbständig gelöst habe, obwohl ich in Mathe nicht gerade der Peiler bin. Darauf bin ich stolz.
Für alle die sich jetzt aufregen: ich sage damit nicht, daß ein anderer Zugang als meiner schlechter ist, oder meiner ergiebiger. Ich beoabachte nur einen Unterschied und meine Reaktion.
Gegeben sei der Vektorraum K^n. Mit dem Unterraum
U={X1,…,Xn;X1+…+Xn=0}.
Ich soll nun für K=R (reelle Zahlen) dimU angeben.
Ich würde sagen: n Dimensionen in K^n, 1 Zwangsbedingung in U => (n-1) Dimensionen in U
Gruß
Oliver