Dirac-Delta Fkt. und Gauss'scher Satz

Wissenschaft Physik
#1

Hallo Mathe-Experten,

ich habe gerade einen Knoten im Gehirn und hoffe, dass mir wer helfen kann, den zu entwirren.

Gesucht ist eine Darstellung der 3D Dirac-Delta-Fkt in Kugelkoordinaten. Die Definition dieser ist

delta(vec(r)) = delta(r) = int delta(r) dV = 1 fuer r = 0
 = 0 fuer r nicht 0

mit dem Gausschen Satz

int div vec(a) dv = int vec(n) vec(a) dA

laesst sich folgende Darstellung der Delta-Fkt gewinnen:

delta(r) = -1/(4 pi) \* laplace(1/r) (\*)

wobei vec(a) ein beliebiger Vektor, vec(n) der nach auszen zeigende Normalenvektor, laplace der Laplace Operator und delta® die Dirac-Delta Fkt (bzw. Disribution) ist.

Mein Ansatz ist, dass man einfach die Definition der Delta-Fkt fuer r=0 nimmt und auf beiden Seiten den Nabla-Operator vorschiebt. Dann bekommt man

nabla int delta(r) dV = nabla int vec(n) vec(r) dA
delta(r) = nabla int vec(n) vec(r) dA

Mein Problem liegt jetzt darin zu zeigen, dasz die rechte Seite hier aequivalent zur rechten Seite von Gleichung (*) ist.

Danke fuer die Muehe und Gruss
Ingo

#2

nabla int delta® dV = nabla int vec(n) vec® dA

Hallo Ingo,

die Gleichung ist m.E. nicht korrekt; sie muß richtig lauten

int delta® dV = int vec(n) grad (1/r) dA .

bzw.

nabla int delta® dV = nabla int vec(n) grad (1/r) dA.

Gruß.

meridium

#3

Schreibfehler
Hallo Meridium,

nabla int delta® dV = nabla int vec(n) vec® dA

Hallo Ingo,

die Gleichung ist m.E. nicht korrekt;

Du hast Recht, ich habe mich allerdings leider verschrieben. Gehe ich vom Gauss’schen Satz

int div vec(delta(r)) dV = int vec(n) vec(delta(r)) dA

aus, so muß sie richtig lauten, wenn ich ein Nabla vorschiebe:

nabla int delta(r) dV = nabla int vec(n) vec(delta(r)) dA
delta(r) = nabla int vec(n) vec(delta(r)) dA

Mit welcher Begruendung wird aus der Delta-Fkt. ein grad(1/r)?
Hier im Buch steht eben nur, dass man mit Hilfe des Gauss’schen Satzes und der Definition der Delta-Fkt die Darstellung

delta(r) = -1/(4pi) laplace(1/r)

gewinnen koenne… Nur ich gewinne sie immer noch nicht, und wie das ging, habe ich leider schon wieder vergessen :frowning:.

Besten Dank schon 'mal.
Gruss
Ingo

#4

delta® = -1/(4pi) laplace(1/r)

Man muß nur nachprüfen, ob die Fkt.

delta® = -1/(4pi) laplace(1/r)

die Deltafunktionkriterien erfüllt. D.h daß das Integral über das Kugelvolumen gleich Eins ist.

=> int(vol) laplace(1/r) dV= int(vol) napla(napla(1/r)) dV

Jetzt Gauß anwenden und beachten, daß napla(1/r) = grad(1/r) ist:

=> int(vol) napla(napla(1/r)) dV = int(A) grad(1/r) dF

Benutze nun grad (1/r) = -1/r² vec(n), wobei vec(n) der Einheitsnormalen vektor in Reichung r ist.

=> int(A) grad(1/r) = int(A) -1/r² vec(n) dF = int (A) -1/r² vec(n)*r² *vec(n) *d(Omega) = - int (A)d(Omega) =-4pi

(dF = vec(n)*r² d(Omega) )

also ist die Fkt. eine Deltafunktion.

Gruß
Oliver

#5
  1. Kriterium

delta® = -1/(4pi) laplace(1/r)

Man muß nur nachprüfen, ob die Fkt.

delta® = -1/(4pi) laplace(1/r)

die Deltafunktionkriterien erfüllt. D.h daß das Integral über
das Kugelvolumen gleich Eins ist.

Natürlich muß noch das zweite Kriterium erfüllt werden, nämlich daß laplace(1/r) = 0 für r =/= 0 ist.