Hallo
Gibt es einen mathematischen Beweis dafür, dass ein Kosinus (im Zeitbereich) modulliert im Frequenzbereich zwei Diracs ergibt???
Aus der Fourier-Reihe cos(t)*e hoch -jwt dt komm ich nicht auf das gewünschte Ergebnis!
Danke schon mal im voraus!
Hallo
Gibt es einen mathematischen Beweis dafür, dass ein Kosinus
(im Zeitbereich) modulliert im Frequenzbereich zwei Diracs
ergibt???
Ja, gibt es. Wenn Du ein Signal vermittles Fouriertransformation in sein Spektrum zerlegst, bekommst Du bei kontinuierlichen Funktionen wunderschöne diskrete Spektrallinien. Ein reiner Sinus (oder Kosinus) hat genau eine Frequenz. Aus Symmetriegründen noch die Spiegelfrequenz. So kommst Du auf die zwei Dirac-Zacken.
Gruß
Fritze
Gibt es einen mathematischen Beweis dafür, dass ein Kosinus
(im Zeitbereich) modulliert im Frequenzbereich zwei Diracs
ergibt???
Ja gibt es. Dazu muss man aber ein bisschen auf die Distributionen-Theorie eingehen.
Im folgenden bedeuten:
F(f): Fouriertransformierte von f
w: Testfunktion
[f(.)]: reguläre Distribution, erzeugt durch f, also
[f(.)]w=int[-oo,oo]dx f(x)*w(x), für eine Testfuntion w
delta(.-h): die um h verschobene Deltadistribution
Nun, zum Beiweis. Dazu berechnet man die Fouriertransformierte der e-Funktion (im Sinne von Distributionen) aus:
(F[exp(ih(.)])w
=exp(ih(.))
=int(-oo,oo) dx exp(ihx)*(F(w))(x)
=2pi*w(h)
=2pi*delta(.-h)w
Dabei wurde Folgendes verwendet:
- Gleichheitszeichen: Definition der Fouriertransformierten einer Distribution
- Gleichheitszeichen: Definition der Klammer […]
- Gleichheitszeichen: Definition der Rücktransformation für Funktionen
- Gleichheitszeichen: Definition der Delta-Distribution
=> F[exp(ih(.)] = 2pi*delta(.-h)
Also: Die Fouriertransformierte der e-Funtion (im Sinne einer Distribution) ergibt eine Delta-Distribtuion.
Das und die Tatsache, dass ein Kosinus durch die Summe zweier e-Funktionen dargestellt werden kann, ergibt die Behauptung.
Gruß
Oliver