Ich habe eine Frage zur Delta-Funktion.
Die ist ja bekanntlich so definiert:
int f(x)δ(x) dx=f(0)
int δ(x) dx=1
und man kann noch hinzufuegen, dass δ(0)->inf. und
δ(x)=0, wenn x ungleich 0.
Man denkt sich die Deltafunktion als Grenzfunktion von geeigneten
Funktionenfolgen.
Warum ist die Definition und diese ganze Betrachtung mathematisch
nicht sauber?
Ich lese immer nur, das koenne man nicht so machen und richtig werde
es erst in der Distributionentheorie. Nun hatte ich dazu vor Jahren
eine ganze Vorlesung plus muendlicher Pruefung, aber ich bin mir gar
nicht sicher, ob mir diese Frage je beantwortet wurde.
Meiner Meinung nach kann man doch definieren, was man will und dann
drauflosrechnen innerhalb dieses Systems von Definitionen.
Also, was ist das Problem mit obigen Ueberlegungen und warum rechnen
die Physiker erfolgreich mit der Delta-Funktion im obigen Sinne, wenn
die Mathematiker nur ein lineares, stetiges Funktional auf dem Raum
der Testfunktionen gelten lassen wollen?
Ich zitiere Teubner-Taschenbuch der Mathematik Seite 414f:
(ii) Formaler Grenzübergang eps -> 0 im Urbildraum. Den Physiker interessiert nat.gem., welcher reale Proz. δ(t):= lim δeps(t) (eps -> 0) dem weißen Rauschen entspricht. Formal erhalten wir
int f(x)δ(x) dx=f(0)
int δ(x) dx=1
δ(t):= +00 für t=0, 0 für t!=0 (1.192)
und δ(t) = 1/2*Pi INT(-00 bis 00) e^1wt dw (1.193)
Ferner folgt aus INT b(-00 bis 00)δeps(t)dt = 1 formal die Relation INT (-00 bis 00) δ(t) dt = 1
(iii)Strenge Rechtfertigung. Es gibt keine klass. Fkt. y=δ(t) mit d. Eigenschaften (1.192) und (1.194). Ferner divergiert das Integral (1.193) […]arbeiten die Physiker erfolgreich[…] Eine Erfahrung d. Geschichte d. Mathe. zeigt, dass erfolgreiche formale Kalküle sich stets in einer geeig. Formulierung streng rechtfertigen lassen. […]1950[…]Laurent Schwartz[…]Schwarzsche Deltadistribution[…]
nachdem Markus die mathematische Seite geliefert hat, bemühe ich mich mal um die anschauliche…
Man denkt sich die Deltafunktion als Grenzfunktion von
geeigneten
Funktionenfolgen.
Physiker stellen sich das so vor: für x=0 hat die delta-Funktion den Funktionswert unendlich, sonst 0.
Warum ist die Definition und diese ganze Betrachtung
mathematisch
nicht sauber?
mit obiger anschaulichen Erklärung wäre z.B. Integral dx delta(ax) f(x) = f(0), wenn man vorher aber die Variablen in z = ax umbenennt, kommt man auf das Ergebnis 1/a * f(0).
Meiner Meinung nach kann man doch definieren, was man will und
dann
drauflosrechnen innerhalb dieses Systems von Definitionen.
Solange diese Definitionen nicht zu Widersprüchen führen, geht das. Nur leider kommt man z.B. auf solche Widersprüche, wenn man die Deltafunktion auch ausserhalb von Integralen zulassen will. Und eine Grenzfunktion hat diese Einschränkung i.A. nicht.
und warum rechnen
die Physiker erfolgreich mit der Delta-Funktion im obigen
Sinne, wenn
die Mathematiker nur ein lineares, stetiges Funktional auf dem
Raum der Testfunktionen gelten lassen wollen?
Weil die Physiker dabei im Hinterkopf halten, dass sie bestimmte Dinge nicht machen dürfen.
Auf diverse Fragen, welche Operationen denn erlaubt sind (vertauschen von Integral und Grenzwert und solchen Geschichten) sagte einer unserer Profs: „Bei allen Funktionen, die Ihnen als Physiker begegnen, dürfen Sie das machen“.
Sprich: es funktioniert, wenn man nicht zu genau darüber nachdenkt *g*
Ich habe eine Frage zur Delta-Funktion.
Die ist ja bekanntlich so definiert:
int f(x)δ(x) dx=f(0)
int δ(x) dx=1
und man kann noch hinzufuegen, dass δ(0)->inf. und
δ(x)=0, wenn x ungleich 0.
Das stimmt nicht, das ist nicht die Definition im mathematischen Sinn. Die Definition ist unten, aber _darstellen_ läßt sich das Funktional durchaus auf diese Weise.
Man denkt sich die Deltafunktion als Grenzfunktion von
geeigneten
Funktionenfolgen.
Warum ist die Definition und diese ganze Betrachtung
mathematisch
nicht sauber?
Sie ist deswegen nicht sauber, weil es keinen „Funktionswert“ δ(0) gibt. Deswegen gibt es keine Delta-_Funktion_, ganz einfach.
Sehr wohl gibt es aber ein _Funktional_ δ über einen geeignet definierten Funktionenraum mit den Eigenschaften:
int δ f = f(0) (Integration über ganz R)
Also, was ist das Problem mit obigen Ueberlegungen und warum
rechnen
die Physiker erfolgreich mit der Delta-Funktion im obigen
Sinne, wenn
die Mathematiker nur ein lineares, stetiges Funktional auf dem
Raum
der Testfunktionen gelten lassen wollen?
Weil die _Darstellung_ des Funktionals als obenstehendes Integral eben korrekt ist. Nicht korrekt dagegen ist die Schreibweise δ(0)=0. Diese macht mathematisch keinen Sinn.
Ich zitiere Teubner-Taschenbuch der Mathematik Seite 414f:
Das habe ich jetzt leider nicht zur Hand.
int f(x)?(x) dx=f(0)
int ?(x) dx=1
?(t):= +00 für t=0, 0 für t!=0 (1.192)
und ?(t) = 1/2*Pi INT(-00 bis 00) e^1wt dw (1.193)
Ferner folgt aus INT b(-00 bis 00)?eps(t)dt =
1 formal die Relation INT (-00 bis 00) ?(t) dt = 1
(iii)Strenge Rechtfertigung. Es gibt keine klass. Fkt.
y=?(t) mit d. Eigenschaften (1.192) und (1.194).
Wie auch im Wikipedia-Artikel bleibt es hier bei der Behauptung.
Warum kann ich nicht sagen: „Seht her, dort ist die Funktion mit
diesen Eigenschaften!“, und dabei auf die Delta-Funktion zeigen.
Was ist denn eine klassische Funktion? Unstetigkeiten und singulaere
Stellen kommen doch in den elementaren Funktionen auch vor.
Ferner
divergiert das Integral (1.193)
Wenn man es stur ausrechnet, ja. Aber da man hier ueber ebene Wellen
integriert, von -00 bis +00, ist doch irgendwie einleuchtend, dass
sich die positiven Anteile gegen die negativen aufheben. Man
integriert sozusagen die Sinusfunktion unendlich oft ueber eine volle
Periode. Man kann auch statt e^(iwt) lim(eps->0)e^(iwt-eps|t|)
integrieren und erhaelt dann 0 fuer w!=0 und 00 sonst. Da sehe ich
keine Unsauberkeiten.
Warum kann ich nicht sagen: „Seht her, dort ist die Funktion
mit
diesen Eigenschaften!“, und dabei auf die Delta-Funktion
zeigen.
Das bloße Aufzählen von Eigenschaften ist nun mal keine Definition. Aus der Definition muss klar hervor gehen welche Funktionswerte die Funktion an den Stellen des Definitionsbereiches annimmt.
In der Tat, kann die Delta-„Funktion“ auch keine Funktion sein, da es keine Funktion gibt, die die obige Integraleigenschaft erfüllt.
Beweis-Skizze:
Damit die geforderte Eigenschaft:
intIRdx f(x)δ(x) = f(0)
erfüllt werden kann, muss die Delta-„Funktion“ stückweise stetig sein, darf aber auch nicht identisch Null sein. Dann gibt es aber auch einen Punkt a, dessen ε-Umgebung nicht die Null enthält und für den o.B.d.A gilt:
δ(x)>0 für alle x aus Uε(a)
Dann defniert man eine Testfunktion f, die nur innerhalt dieser Umgebung positiv ist und sonst verschwindet:
f(x)>0 für x aus Uε(a)
f(x)= 0, sonst, insbesondere f(0)=0.
Tja,
ungefähr so wurde mir im Studium die "delta-Fkt.2 erklärt.
Die „delta-Fkt.“ ist eine Funktion, die keine Funktion ist. Sie ist definiert durch ein Integral, das nicht existiert.
Ob das wirklich weiter hilft?
Da ich Physiker bin habe ich mich lieber auf die „guten“ Funktionen verlassen.
Ein schönes Wochenende
Volker
Die „delta-Fkt.“ ist eine Funktion, die keine Funktion ist.
Sie ist definiert durch ein Integral, das nicht existiert.
Uns wurde das so erklärt: die Delta-Distribution ist eine Abbildung vom Raum der Testfunktion in den Körper der reellen Zahlen, die einer Testfunktion deren Wert an der Stelle 0 zuweist:
δf = f(0)
Und weil Physiker sich gleich immer alles vorstellen müssen, ist folgende alternative Schreibweise für diesen Ausdruck gebräuchlich:
„intIR dx δ(x)f(x) = f(0)“
Diese Schreibweise erlaubt die Interpretation der Delta-Distribution als eine Art Peak, der bei der Multiplikation und anschließender Integration dafür sort, dass nur der Funtkionswert an der Stelle 0 zum Integral beiträgt.
Diese Schreibweise hat darüber hinaus auch den Vorteil, dass man dadurch mit der Delta-Distribution rechnen kann, als wäre sie eine gewöhnliche Funktion - die allerdings erst nach der Integration zu sinnvollen Ergebnissen führt.
Man sollte aber immer im Hinterkopf behalten, dass es sich lediglich um eine praktische Schreibweise handelt und nicht etwa um eine Definition.
erfüllt werden kann, muss die Delta-„Funktion“ stückweise
stetig sein, darf aber auch nicht identisch Null sein. Dann
gibt es aber auch einen Punkt a, dessen ?-Umgebung nicht
die Null enthält und für den o.B.d.A gilt:
?(x)>0 für alle x aus U?(a)
Du nimmst dir eine Stelle a, die auf der x Achse genuegend weit von
Null entfernt liegt. In der naeheren Umgebung von a ist dann aber
δ(x) gerade nicht >0, sondern identisch Null, nach ueblicher
Auffassung.
Dann defniert man eine Testfunktion f, die nur innerhalt
dieser Umgebung positiv ist und sonst verschwindet:
f(x)>0 für x aus U?(a)
f(x)= 0, sonst, insbesondere f(0)=0.
intIRdx f(x)?(x) = f(0)
gilt nur dann, wenn der Integrationsbereich die Stelle x=0 enthaelt.
Wenn du ueber einen Bereich integrierst, der die Null nicht enthaelt,
dann bekommst du als Ergebnis immer Null, selbst dann, wenn f(x)
nirgends Null ist.
im Widerspruch zur Voraussetzung.
Es gibt also keine Funktion, die die geforderte Eigenschaft
erfüllt.
Du nimmst dir eine Stelle a, die auf der x Achse genuegend
weit von
Null entfernt liegt. In der naeheren Umgebung von a ist dann
aber
δ(x) gerade nicht >0, sondern identisch Null, nach
ueblicher
Auffassung.
Was heißt hier nach üblicher Auffassung? Ich denke es geht doch gerade darum, ob diese Auffassung sinnvoll ist oder nicht. Deshalb muss man sich beim Beweis auch von einer bestimmten Definition trennen und ganz allgemein argumentieren.
Wenn es dir nur darum geht, dass obige Auffassung
δ(x)=0, falls x =/= 0
δ(x)=oo, falls x = 0
falsch ist, dann ist man schnell fertig. Denn wenn δ(x) außer bei x=0 sonst überall Null wäre, würde die Integration immer Null ergeben, weil man ja bekanntlich bei der Integration diskrete Punkte auslassen kann, ohne das sich das Integral ändert.
Nur wäre das wie gesagt, nur der Beweis, dass obige Defnition falsch ist - nicht dass die δ-„Funktion“ überhaupt keine Funktion ist.
