Hallo,
war mir garnicht
bewusst *gg* bei euch muss man richtig genau werden, finde ich
gut. Das ist in der Schule leider nicht so.
Dazu ein Zitat von Einstein (nur sinngemäß- ich hab’ Original nicht): „Die genaue Beschreibung eines Problems ist wichtig, denn sie führt direkt zur Lösung des Problems“ (oder so ähnlich).
Jetzt zum Problem:
Von einer gemeinsamen Normalen habe ich noch nie etwas gehört.
Mit Normale ist hier wohl der Normalenvektor gemeint. Was zur Hölle ist nun ein Vektor? Das ist - im Prinzip - ein Pfeil mit Länge und Richtung. Mit Vektoren lassen sich Punkte und Richtungen in Räumen beschreiben. Die „Räume“ können zwei-, drei- oder viel-dimensional sein. Entsprechend viele Dimensionen haben die Vektoren. Im zweidimensionalen Fall (also in der Ebene, auf einem Blatt Papier) hat ein Vektor auch zwei Dimensionen bzw. Elemente. Das eine Element beschreibt den x-Anteil der Richtung, das andere Element den y-Anteil. Beide Elemente schreibt man in Klammern untereinander. Weil das hier nicht so einfach ist, schreibe ich sie nebeneinander, durch ein Schrägstrich getrennt: (x/y). Bei den Richtungsangaben beziehe ich mich auf ein ganz normales Koordinatensystem (horizontal: x-Achse, von lenks nach rechts; vertikal: y-Achse, von unten nach oben). So sieht zB. ein Vektor aus, der nach rechts zeigt: (1/0). Dieser Vektor (2/0) zeigt auch nach rechts, ist aber doppelt so lang. Dieser Vektor zeigt nach links oben (im Winkel von 45°): (-1/1). Ok?
Genausogut kann ein Vektor auch einen Punkt beschreiben. Dann nennt man ihn Ortsvektor (im Ggs. zum Richtungsvektor). Der Ortsvektor (x/y) beschreibt dann einfach den Punkt x/y.
Eine Gerade hat ja nun auch eine Richtung. Das läßt sich auch vektoriell darstellen. Eine Gerade hat die Gleichung y = mx+b mit m als Steigung und b als Achsenabschnitt. Um diese Gerade mit Vektoren zu berschreiben, braucht man einen Ortsvektor und einen Richtungsvektor. Der Ortsvektor ist irgendeiner der Punkte der Geraden, im einfachsten Falle eben der Achsenabschnitt: (0/b). Der Richtungsvektor ist durch die Steigung gegeben: (1/m).
Ein Normalenvektor ist nun derjenige Vektor, der zum Richtungsvektor des Objekts senkrecht steht. Eine Gerade hat ja nur einen Richtungsvektor (eine Ebene hätte zwei usf.), und auf diesen steht der Normalenvektor eben senkrecht. Für das o.g. Beispiel wäre das zB. der Vektor (m/-1).
Zwei geraden sind parallel, wenn ihre Steigungen gleich sind. Das heißt, ihre Richtungsvektoren sind gleich (bezüglich ihrer Richtung. Ihre Länge kann wohl unterschiedlich sein, aber man kann die Richtungsvektoren normnieren, dann ist das kein Problem). Das heißt ebenso, daß ihre Normalenvektoren die gleiche Richtung haben. Bei der Geraden ist das umständlich, über die Normalenvektoren zu gehen, weil man’s ja schon an den Richtungsvektoren sieht. Bei Ebenen (oder höherdimensionalen Körpern) geht das aber nicht mehr - da muß man die Normalenvektoren berechnen.
Meine in der Schule gelernte Definition von parallel lautet
wie folgt:
„Zwei Geraden sind zueinander parallel, wenn sie überall den
gleichen Abstand zueinander haben.“
Soweit ja korrekt.
Da kommen bei mir persönlich 2 Fragen auf:
- „… überall den gleichen Abstand zueinander haben.“ Diesen
Teil der Definition kann man doch auch falschverstehen, wegen
dem „überall“. Nämlich, dass jeder Punkt zu jedem anderen den
gleichen Abstand hat. Das wären dann keine zwei Geraden mehr,
sondern könnten nur noch 2 Punkte sein.
Nein. „Abstand“ bezieht sich hier ganz klar auf die Geraden, nicht auf die Punkte. Per Definition ist der Abstand die MINIMALE Distanz zwischen zwei Punkten. Du kannst die also einen beliebigen Punkt der einen Geraden nehmen und dien Abstand der anderen Geraden zu diesem Punkt berechnen. Der Abstand ist dann die Distanz zu demjenigen Punkt der anderen Geraden, der eben dem gewählten Punkt am nächsten kommt. Ausgehend vom gewählten Punkt erreichst du den nächsten Punkt der anderen Geraden übrigends mit dem Normalenvektor - wenn die Geraden parallel sind! (Aha?!) Jede „schiefe“ Verbindung zwischen zwei Punkten ist nämlich länger.
Diesen Teil würde ich so verbessern: "… wenn der Abstand
eines beliebigen Punktes einer Geraden zum nächstgelegenen
Punkt …
DDer Begriff „Abstand“ enthält schon die Forderung, daß es der „nächstgelegene Punkt“ sein muß.
- In der Definition wird von Geraden gesprochen. Das sagt mir
nichts über gekrümmte Körper.
Für eine Gerade ist der Richtungsvektor in jedem Punkt der gleiche und mithin ist auch ihr Normalenvektor (der ja immer senkrecht zum Richtungsvektor steht) auch überall der gleiche. Eine Kurve hat in jedem Punkt einen anderen Richtungsvektor, was damit auch für den Normalenvektor gilt. Das ändert nichts an den Definitionen.
Hier sind also schon 3 Definitionen im Raum… gibt es noch
mehr? Die will ich garnicht alle wissen. Aber welche stimmt
denn nun? Alle?
Ich kenne folgende 3 Defintionen von Parallelität:
- geometrisch
- biochemisch
- zeitlich
Über die 3. hatten wir nicht gesprochen, aber die ist klar, denke ich.
Grüße,
Jochen
