Doppelte Winkelgeschwindigkeit, rot(v)

Wissenschaft Physik
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Hallo,
in der Strömungslehre wird der Wirbelvektor als gleich der doppelten Winkelgeschwindigkeit definiert. Sprich

rot(v) = 2*omega.

Wobei v das Geschwindigkeitsfeld beschreibt.
Durch eigenes herleiten komme ich aber nur auf 1*omega. Kann mir jemand helfen? Und vielleicht eine allgemeine Herleitung dieser Gleichung geben?
Wäre für hilfe sehr dankbar,
Gruß Manu

2

Hallo,

rot(v) = 2*omega.

Wobei v das Geschwindigkeitsfeld beschreibt.
Durch eigenes herleiten komme ich aber nur auf 1*omega.

dann ist Deine Herleitung fehlerhaft. Wo genau der Wurm drin steckt kann ich Dir ohne Kenntnis derselben natürlich nicht sagen.

Auszurechnen ist ∇ × ( ω × r ) und die Formel für den korrekten ersten Schritt findest Du hier:

http://de.wikipedia.org/wiki/Grassmann_Identit%C3%A4t

Schau nach ∇ × ( B × C ) = … Diese Identität musst Du benutzen.

mir jemand helfen? Und vielleicht eine allgemeine Herleitung
dieser Gleichung geben?

Wozu denn das, wenn Du schon eine Herleitung hast?

Gruß
Martin

3

Vielen Dank erstmal für die schnelle Antwort.
Eine allgemeine Herleitung habe ich natürlich nicht, falsch ausgedrückt. Es geht eigentlich vielmehr um eine konkrete Aufgabenstellung zu der ich einen Lösungsweg habe den ich nicht nachvollziehen kann.

Gegeben ist die Winkelgeschwindigkeit omega und das Geschwindigkeitsfeld mit

\begin{gather}
u_\varphi ® = U_0 \frac{r}{r_0} \
\Omega = \frac{U_0}{r_0}
\end{gather}

Es gilt zu beweisen, dass u keine Potentialströmung ist. Also mus rot(u) ungleich null sein.
als Lösungsweg ist

\begin{equation}
rot \vec{u} = \frac{1}{r} {\frac{\delta (u_\varphi r)}{\delta r} } \vec{e_z} = 2 \frac{U_0}{r_0} \vec{e_z}
\end{equation}

Klar, rot u muss natürlich die doppelte Winkelgeschwindigkeit sein. Aber woher kommt dieses 1/r? (Ist natürlich alles in Polarkoordinaten.
Grüße Manu

4

Mal so aus dem Bauch heraus :
Kotrafo in Polarkoordinaten. Da taucht immer ein 1/r auf :smile:
Gruss

5

Hallo,

Klar, rot u muss natürlich die doppelte Winkelgeschwindigkeit
sein. Aber woher kommt dieses 1/r? (Ist natürlich alles in
Polarkoordinaten.

dieses 1/r steht im Zylinderkoordinaten-rot drin:

\textnormal{rot}:{\bf A}

\left(\frac{1}{r} \frac{\partial A_z}{\partial\varphi} - \frac{\partial A_\varphi}{\partial z} \right) \vec{e}_r
+
\left(\frac{\partial A_r}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial r} \right) \vec{e}_\varphi
+
\frac{1}{r} \left(\frac{\partial (r A_\varphi)}{\partial r} - \frac{\partial A_r}{\partial \varphi} \right) \vec{e}_z

Siehe z. B. hier:

http://de.wikipedia.org/wiki/Rotation%5F%28Mathemati…

In Deinem Fall u ( r ) = U0 r/r0 e φ sind ur = 0 und uz = 0 und nur die φ-Komponente ist mit uφ = U0 r/r0 von Null verschieden. Damit vereinfacht sich rot u zu

\textnormal{rot}:{\bf u}

-\frac{\partial u_\varphi}{\partial z} \vec{e}_r
+
\frac{1}{r} \frac{\partial (r u_\varphi)}{\partial r} \vec{e}_z

und da uφ hier nicht von z abhängt, verschwindet der erste Summand auch noch:

\begin{eqnarray}
\textnormal{rot}:{\bf u}
&=& \frac{1}{r} \frac{\partial (r u_\varphi)}{\partial r} \vec{e}_z
\nonumber\[3pt]
&=& \frac{1}{r} \frac{\partial (r U_0 \frac{r}{r_0})}{\partial r} \vec{e}_z
\nonumber\[3pt]
&=& \frac{U_0}{r_0} \frac{1}{r} \frac{\partial r^2}{\partial r} \vec{e}_z
\nonumber\[3pt]
&=& \frac{U_0}{r_0} \frac{1}{r} 2 r \vec{e}_z
\nonumber\[3pt]
&=& 2 \frac{U_0}{r_0} \vec{e}_z
\nonumber
\end{eqnarray}

Gruß
Martin