Ein Gruß an die Mathefreunde und Mathekönner!
Mein Abi liegt mehr als 60 Jahre zurück; ich
meinte eine Denksportaufgabe leicht lösen zu
können, ein Irrtum! Die Aufgabe als Gleichung:
x + y + z = 100
4x + 2y + z/3 = 100.
Die Vereinfachung auf zwei Unbekannte,
weil ja x = 100 – y – z , führt zu keinem
Ergebnis! Warum eigentlich? Bei drei
Unbekannten komme ich zur untenstehenden
Gleichung, die ich aber nicht lösen kann.
Ich bitte um Hilfe – und vielen Dank dafür!
Eine andere Schreibweise der Gleichung war am
PC nicht möglich!
nur mal ein paar allgemeine Bemerkungen. Ein Gleichungssystem mit 3 Unbekannten und 2 Gleichungen kann unendlich viele Lösungen haben. Nur mal nebenbei: Wenn Du Dir x,y und z als Achsen eines dreidimensionalen Koordinatensystems vorstellst, liegen diese Lösungen alle auf einer Geraden. Jede der beiden Gleichungen beschreibt nämlich eine Ebene im Raum, und die gemeinsame Menge zweier Ebenen ist eine Gerade. Du bräuchtest also eine dritte Gleichung (eine dritte Ebene), dann wäre die gemeinsame Menge aller 3 Ebenen ein Punkt - also eine eindeutige Lösung.
Aber: Es war doch eine Denksportaufgabe. Dann enthält die noch mehr Hinweise. Meist müssen doch die Lösungen ganze Zahlen sein, z.B. die Anzahl bestimmter Gegenstände oder so. Oder vielleicht hieß es ja „3 Leute sind zusammmen 100 Jahre alt“. Dann wüsste man schon mal, dass x,y und z natürliche Zahlen sein müssen. Das schränkt die Lösungsmenge dann meist derart ein, dass man durch kluges Probieren irgendwie drauf kommt.
ist ein so genanntes lineares Gleichungssystem. (Linear deshalb, weil die Variablen nur in erster Potenz auftauchen und es keine gemischten Terme gibt).
Bei solchen Gleichungssystemen gilt, dass sie nur dann eine eindeutige Lösung haben können, wenn es gleich viele Gleichungen wie Unbekannte gibt.
Ich würde die Lösung so angehen:
x + y + z = 100 (1)
4x + 2y + 1/3z = 100 (2)
Division Gleichung (2):2 :
2x + y + 1/6z = 50 (3)
Subtraktion Gleichung (3) - Gleichung (1):
x -5/6z = -50 (4)
Gleichung (4) kann man nicht weiter vereinfachen. Man kann es nur ein bisschen umschreiben:
z = 6/5 x +60 (5)
Gleichung (5) beschreibt nun eine Funktion der Variablen x. Das bedeutet, zu jedem Wert von x (dieser Wert kann beliebig gewählt werden) gibt es ein passendes z.
Man kann sich das auch geometrisch veranschaulichen: Jede lineare Funktion von 3 Variablen ist eine Ebene im 3dimensionalen Raum (genauso wie jede lineare Gleichung mit 2 Variablen eine Gerade in der 2dimensionalen Ebene beschreibt). Wenn wir zwei Gleichungen haben, dann sind diese entweder parallel, oder sie schneiden sich. Wenn sie sich schneiden, ist die Schnittmenge eine Gerade. Deren Gleichung ist - je nach Geschmack - die Gleichung Nr. (4) oder (5). Um einen Punkt genau festzulegen, braucht man daher drei Flächen bzw. drei Gleichungen.
Wenn es eine Denksportaufgabe ist, hast Du bestimmt eine Bedingung überlesen.
Nach so langem vergeblichem Rechnen habe ich gleich mal nachgeschaut. Also, so heißt die Aufgabe: Es werden 100 Tiere gekauft, Gänse, Enten und Hühner, l00 Gulden werden dafür bezahlt, es kosten Gans 4, Ente 2 und Huhn l/3 Gulden.
Nach so langem vergeblichem Rechnen habe ich gleich mal
nachgeschaut. Also, so heißt die Aufgabe: Es werden 100 Tiere
gekauft, Gänse, Enten und Hühner, l00 Gulden werden dafür
bezahlt, es kosten Gans 4, Ente 2 und Huhn l/3 Gulden.
Siehst Du, da gibt es doch noch eine zusätzliche Information. Aus meinem letzten Posting stammt die Lösung
x -5/6z = -50
x, y und z sind natürlich ganze Zahlen. Also ist z ein Vielfaches von 6. Da x positiv ist, muss z ziemlich groß sein, z. B.
z=60 ⇒ x=0 ⇒ y=40
Das wäre also schon eine mögliche Lösung. Allerdings ziemlich komisch, weil ja alle Tierarten gekauft wurden. Dann wird „0 Gänse“ kaum erlaubt sein.
Weiter:
z=66 ⇒ x=5 ⇒ y=29 (geht auch)
z=72 ⇒ x=10 ⇒ y=-2 (geht zwar mathematisch, aber was muss man unter zwei negativen Enten verstehen???)
Bei allen weiteren Lösungen ist y negativ.
Also lautet die richtige Lösung 66 Hühner, 5 Gänse und 29 Enten.