Die Erkenntnis, dass AD die Höhe des Dreiecks BCD ist, ist in der Tat noch nicht mal die halbe Miete, auch wenn man zur Flächenberechnung von ECD dann ‚nur‘ noch z benötigt. Das ‚Umklappen‘ verdeutlicht übrigens zusätzlich, dass m gleich dem längeren Hypotenusenabschnitt von BCD ist. Die Ähnlichkeit von BCD mit ABD wurde schon genannt. Was hier noch nicht angesprochen wurde ist, dass n eine Winkelhalbierende ist. Somit ist z / 5 = y / x und daher z = 5 * tan ά. Der Tangens eines Winkels entspricht dem Quotient aus Sinus und Cosinus, also ist tan ά = sin ά / cos ά wobei hier sin ά = 3 / x und cos ά = x / ((5 + z) ist. Somit ist tan ά = 3 * (5 + z) / x² = (15 + 3z) / x².
Außerdem ist tan ά = 5 / z, somit ist (15 + 3z) / x² = 5 / z - ergibt über
z(15 + 3z) = 5x² ausmultipliziert 3z² + 15z = x². Wenn man jetzt noch wüsste, wie groß x ist …
Schaun mer mal den Euklid’schen Höhensatz an: m (5 + z - m) = 9, ausmultipliziert 5m + zm – m² = 9 und aus der Ähnlichkeit der Dreiecke ergibt sich x / (5 + z) = m / x bzw. x² / (5 + z) = m. Eingesetzt in den Höhensatz:
5(x² / (5 + z)) + z(x² / (5 + z)) – (x² / (5 + z))² = 9
5x²(1 / (5+z)) + zx²(1 / (5+z)) – x²(1 / (5+z)) = 9
5x² + zx² – x² = 45 + 9z
x² (5 + z - 1) = 45 + 9z
x² = (45 + 9z) / (4 + z)
Damit haben wir zwei Gleichungen mit denselben beiden Unbekannten, jeweils nach x² aufgelöst, was zu Folgendem führt:
3z² + 15z = (45 + 9z) / (4 + z)
12z² + 60z + 3z³ + 15z² = 45 + 9z
3z³ + 27z² + 51z = 45
z³ + 9z² + 17z - 15 = 0
Eine kubische Gleichung für z. So - und jetzt habe ich den Spass an der Beschäftigungstherapie verloren. Habe auch keine Lust mehr nachzuprüfen, ob ich da irgendwo einen Denk - oder Rechenfehler gemacht habe. Einen schönen Abend noch.
Ralf