Dreiecksberechnung

[Werner_06e224]

Hallo,
die Zeit, in der ich Hausaufgaben zu lösen hatte, liegt schon einige
Jahzehnte zurück.
Trotzdem beschäftigt mich eine Aufgabe, auf die ich gestoßen bin und deren Lösung mir nicht gelingt( was einige evtl. belächeln werden).
Eine Lösung auf grafischem Weg wäre zwar möglich, ich suche aber
den Rechenweg, wobei bitte keine akademische Aubildung vorausgesetzt wird.
Sie lautet:
An einer senkrechten Wand soll eine 7m lange Leiter(idealerweise als
Linie betrachtet)angestellt werden.
Der Anstellwinkel ist dadurch gegeben,dass zwischen Wand und Leiter
am Boden ein Würfel von 1m Kantenlänge Platz hat.
In welcher Höhe berührt die Leiter die Wand?

Gruß
und frohe Weinachten
Werner

[drambeldier]

Moin, Werner,

dieses berühmte Problem scheint keinen einprägsamen Namen zu haben, es wurde sogar hier im Forum schon mal diskutiert.

Soweit ich mich erinnere, baut die Lösung auf der Ähnlichkeit der Dreiecke oberhalb und unterhalb des Berührungspunktes Kiste und Leiter auf, dabei ergibt sich eine quadratische Gleichung, deren eine Lösung den oberen und die andere den unteren Leiter- (oder Wand-)abschnitt angibt. Mit quadratischen Gleichungen kommst Du zurecht? Wenn nicht, dann such mal nach dem Satz von Vieta.

Gruß Ralf

[Hendrik_70c5fb]

An einer senkrechten Wand soll eine 7m lange
Leiter(idealerweise als
Linie betrachtet)angestellt werden.
Der Anstellwinkel ist dadurch gegeben,dass zwischen Wand und
Leiter
am Boden ein Würfel von 1m Kantenlänge Platz hat.
In welcher Höhe berührt die Leiter die Wand?

Hallo Werner,

Nennen wir mal den Abschnitt der Leiter vom Boden bis zum Berührpunkt der Leiter mit dem Würfel p, und den Abschnitt vom Berührpunkt der Leiter mit dem Würfel bis zur Wand nennen wir q.
Dann gilt für den Winkel a zwischen Boden und Leiter bzw. zwischen Leiter und Oberseite des Würfels
sin(a)=1/p
cos(a)=1/q
Da sin² und cos² zusammen immer 1 gibt (Satz des Pythagoras im Einheitskreis), gilt also
(1/p)²+(1/q)²=1
Außerdem gilt p+q=7, also q=7-p.
Das eingesetzt ergibt die Gleichung
p⁴-14p³+47p²+14p-49=0
Diese Gleichung hat vier Lösungen, zwei davon liegen im Bereich zwischen 0 bis 7, und p darf ja nur Werte zwischen 0 und 7 annehmen.
Es reicht allerdings wenn du eine Lösung raushast, denn dann ist 7 minus diese Lösung gerade die andere Lösung.
Sehr zu empfehlen ist hier das Newtonverfahren. Mit Startwert 1 oder 6 erhälst du nach ein paar Iterationen ziemlich genaue Werte.
Viel Erfolg !

hendrik

[Pontius]

Hallo,

Sehr zu empfehlen ist hier das Newtonverfahren. Mit Startwert
1 oder 6 erhälst du nach ein paar Iterationen ziemlich genaue
Werte.

Warum empfiehlst du ein Näherungsverfahren, wenn sich die Aufgabe rechnerisch exakt lösen lässt?
Gruß
Pontius

[Sanders_Horst_e791f8]

Mein Ansatz,der funktioniert hat:

a) 1/Y = x/(x+1)
b) x^2 + Y^2 = 49

Die Gleichung der Leiter ist dann
Y = -5,1268*X +6,1268
Diese Gerade berührt den Punkt(1/1)

cu
Horst

[Manni_1248d3]

Hallo,

a) 1/Y = x/(x+1)
b) x^2 + Y^2 = 49

Die Gleichung der Leiter ist dann
Y = -5,1268*X +6,1268
Diese Gerade berührt den Punkt(1/1)

x=0: Y= +6,1268

Zeichnerisch kommt bei mir etwas anderes heraus(6,9).

Wo liegr mein Fehler?

Gruß:
Manni

[Pontius]

Hallo,

Mein Ansatz,der funktioniert hat:
a) 1/Y = x/(x+1)
b) x^2 + Y^2 = 49

deinen Ansatz verstehe ich nicht.
x und Y sind doch bei dir gem. b) offensichtlich die An-und Gegenkathete
des „großen Dreiecks“. Die Verhältnisgleichung unter a) soll wohl auf dem Strahlensatz beruhen. Wo aber finde ich dann die Strecke x+1?
Gruß
Pontius

[Pontius]

Hallo,
wenn du trotz der Tipps nicht weiter kommst, findest du unter
http://www.mathematische-basteleien.de/leiter.htm
komplette Lösungswege für diese Aufgabe.
Gruß
Pontius

[Werner_06e224]

Hallo
und Danke an Alle.

Werner

[Pontius]

Hallo,

Zeichnerisch kommt bei mir etwas anderes heraus(6,9).

Bei mir auch, nämlich ca. 6,85m und rechnerisch ist bei mir ein Ergebnis ca. 6,90m.

Wo liegr mein Fehler?

Wahrscheinlich liegt der Fehler nicht bei dir, sondern bei Horst.
Gruß
Pontius

[Martin]

Hallo hendrik,

Das eingesetzt ergibt die Gleichung
p⁴-14p³+47p²+14p-49=0

der Clou bei dieser Aufgabe besteht darin, dass man um das Polynom vierten Grades herumkommen kann, wenn man es geschickt anstellt.

Nach dem Strahlensatz erfüllt die Leiter x/y = 1/(y – 1), was äquivalent ist zu

x + y = x y

Außerdem gilt nach dem Satz des Pythagoras

x² + y² = L²

mit L := die gegebene Leiterlänge, y := die Höhe des Anlehnungspunktes der Leiter an der Wand, und x := der horizontale Abstand ihres Fußpunktes von der Wand.

Das ist ein nichtlineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen für die beiden Unbekannten x und y. Löst man eine der beiden Gleichungen nach y auf und setzt sie in die andere Gleichung ein, bekommt man ein Polynom vierten Grades in x ⇒ schlecht.

Folgende Rechnung ist cleverer:

L² = x² + y² = (x + y)² – 2 x y

und nach Ersetzen von x + y durch x y gemäß der ersten Gleichung

L² = (x y)² – 2 x y = A² – 2 A

mit A := x y = die Fläche des Rechtecks mit der Leiter als Diagonale

Hier haben wir mit A eine neue Variable kreiert, in der x und y ebenfalls symmetrisch auftreten, genau wie in den beiden Ausgangsgleichungen. Das vereinfacht die Sache, denn L² = a² – 2 a ist erfreulicherweise eine nur quadratische Gleichung in A, die sich mit der pq-Formel lösen lässt.

Lösung: A = 1 + √(L² + 1)

(Die zweite Lösung ist negativ und daher zu verwerfen.)

Vom damit bekannten A zu den gesuchten Werten für x und y ist es nicht mehr weit:

A = x y = x² + y x – x² = (x + y) x – x²

und wenn man darin x + y erneut gemäß der ersten Gleichung durch x y = A ersetzt findet man

A = A x – x²

Diese Gleichung für x ist wiederum nur quadratisch und hat die Lösungen

x_1,2 = A/2 (1 ± √(1 – 4/A))

Somit sind die beiden Leiterpositionen, bei denen eine L lange Leiter eine 1×1 große Kiste gerade berührt, gegeben durch

(x, y) = (d^+, d^-)
\quad\textnormal{oder}\quad
(d^-, d^+)

\textnormal{mit}\quad
d^\pm = \frac{A}{2} \big(1 \pm \sqrt{1 - 4/A}\big)

\textnormal{mit}\quad
A := 1 + \sqrt{L^2 + 1}

Für L = 7 ergibt sich d⁺ = 6.901622895142121 und d^– = 1.169444916723355.

Gruß
Martin

[roysy]

Moin,

x + y = x y

…das ist mir unklar wegen der Dimensionen:

m+m = m*m?

Grüße.

roysy

[Martin]

Moin,

x + y = x y

…das ist mir unklar wegen der Dimensionen:

m+m = m*m?

x + y = x y ist richtig, wenn Du einheitenslos rechnest, also die Abmessungen der Kiste zu 1×1 annimmst, und dann auch L eine reine Zahl ist (L = 7). Dann bekommst Du auch die Outputs (A, d⁺, d^–) als Zahlen. Bei der Rechnung mit Einheiten würde in den Gleichungen die Einheit m oder m² auftauchen, weshalb ich die einheitenlose Variante bevorzugte. Am besten wäre natürlich, man würde die Kantenlänge der Kiste nicht 1 oder 1 m, sondern gleich allgemein z. B. K sein lassen.

Einheitenlose Rechnung (Kistenkantenlänge = 1):

\frac{x}{y} = \frac{1}{y - 1}
\quad\Longrightarrow\quad
x:y = x + y

Einheitenbehaftete Rechnung (Kistenkantenlänge = 1 m):

\frac{x}{y} = \frac{1 {\rm m}}{y - 1 {\rm m}}
\quad\Longrightarrow\quad
x:y = (x + y):{\rm m}

Allgemeine Rechnung (Kistenkantenlänge = K):

\frac{x}{y} = \frac{K}{y - K}
\quad\Longrightarrow\quad
x:y = (x + y):K

Gruß
Martin

[Sanders_Horst_e791f8]

Wo aber finde ich dann die

Strecke x+1?
Gruß
Pontius

Das kleine Dreieck habe ich nach Oben in die Ecke geschoben wo die
Leiter oben die Wand (Y-Achse) berührt.
Von dem Punkt aus baue ich den Strahlensatz auf.
1 (Würfelkante)verhält sich zur gesamten Y-Achse
wie die kleine Horizontale (d.h. X) zu x+1 (1 ist hier die horizontale Würfelkante)
cu
Horst

[Sanders_Horst_e791f8]

Hallo,

a) 1/Y = x/(x+1)

Zeichnerisch kommt bei mir etwas anderes heraus(6,9).

Wo liegt mein Fehler?

Der Fehler liegt bei mir, ich hab nochmal gerechnet
Die Leiter berührt die Y-Achse bei 6,905
und steht auf der X-Achse bei 1,1667
das ergibt eine Steigung m= 5,919
Gleichung der Leiter
Y = -5,919x+6,905

http://www.thyscom.ch/laborator/photos/Leiter.jpg
Gruß
Horst

[Pontius]

Wo aber finde ich dann die

Strecke x+1?
Gruß
Pontius

Das kleine Dreieck habe ich nach Oben in die Ecke geschoben wo
die
Leiter oben die Wand (Y-Achse) berührt.
Von dem Punkt aus baue ich den Strahlensatz auf.
1 (Würfelkante)verhält sich zur gesamten Y-Achse
wie die kleine Horizontale (d.h. X) zu x+1 (1 ist hier die
horizontale Würfelkante)

Dann sind aber deine „x“ in den beiden von dir angegebenen Gleichungen unterschiedlich definiert und sind als Lösungsansatz unbrauchbar. Bei gleicher Definition wäre gem. Strahlensatz:
1/y = (x-1)/x
Gruß
Pontius

[DevilSuichiro]

moin;

diese Gerade approximiert das Problem recht gut, bei der Ermittlung der Parameter wurde allerdings unschön gerundet.

f(1)!=1 (jedenfalls nicht genau).

mfG

[Manni_1248d3]

Hallo Horst,

Der Fehler liegt bei mir, ich hab nochmal gerechnet
Die Leiter berührt die Y-Achse bei 6,905
und steht auf der X-Achse bei 1,1667
das ergibt eine Steigung m= 5,919
Gleichung der Leiter
Y = -5,919x+6,905

http://www.thyscom.ch/laborator/photos/Leiter.jpg

…so ist’s besser.

Gruß:
Manni