Hossa 
Die allgemeine Sinusfunktion lautet x -> sin(x)!
richtig
Die Änderung der Periode kommt durch das Ändern des Vorfaktors
zu Stande, also z.B. x -> 1/2sin(x) oder x -> 2sin(x)!
Nein, das stimmt nicht. Durch den Vorfaktor änderst du nur die Höhe der Amplitude, also den maximalen und den minimalen Wert der Sinus-Funktion. Die Periode ändert sich, wenn der Vorfaktor in das Argument der Sinus-Funktion wandert:
x\to\sin\left(\frac{1}{2}x\right)\quad\mbox{oder}\quad x\to\sin\left(2x\right)
Der Faktor vor der Sinus-Funktion hat keinerlei Einfluss auf die Periode!
Die Periode, bis der Graph wieder den selben Funktionswert
(y-Wert) annimmt, hat eine Länge von 2Pi (Normalfunktion).
Beim Graphen x -> 2sin(x) ist die Periodenlänge 1Pi.
Für die Periodenlänge Pi lautet eine mögliche Funktion:
x\to\sin\left(2x\right)
Wie kann man das am Einheitskreis erklären?
Der Einheitskreis hat einen Radius von 1cm.
Wenn du die Sinus-Funktion am Kreis erklären möchtest, steht der Radius R als Faktor vor der Sinus-Funktion, also
x\to R\sin\left(x\right)
Im Einheitskreis ist R=1, so dass der Vorfaktor weggelassen werden kann:
x\to\sin\left(x\right)
Um die Periode im Einheitskreis zu verstehen, solltest du den Winkel nicht im Bogenmaß, sondern in Grad angeben. Im Bogenmaß ist die Periode normalerweise 2pi, das entspricht im Gradmaß 360°, also eine kompletten Umdrehung. Daher kannst du den Wert x vom Bogenmaß in den Winkel alpha im Gradmaß umrechnen:
x=2 \pi\cdot\frac{\alpha}{360}
Deine Sinus-Funktion im Einheitskreis lautet nun:
\alpha\to\sin\left(2\pi\cdot\frac{\alpha}{360}\right)
Ein kompletter Umlauf um den Einheitskreis ist erreicht, wenn alpha=360° ist.
Für das Argeument 2x lautet die Transformation ins Bogenmaß:
2x=2\pi\cdot\frac{\alpha}{360}\cdot2=2\pi\cdot\frac{\alpha}{180}
und die Sinus-Funktion entsprechend:
\alpha\to\sin\left(2\pi\cdot\frac{\alpha}{180}\right)
Hier ist ein kompletter Umlauf bereits bei alpha=180° erreicht, also doppelt so schnell wie zuvor.
Mit anderen Worten, wenn du anstelle der Funktion
x\to\sin(x)
die Funktion mit doppelt so schnell wachsendem Argument betrachtest
x\to\sin(2x)
ist die Periode 2pi natürlich bereits bei halb so großem x erreicht.
Viele Grüße
Hasenfuß