ich hätte da eine Frage zu einer Mathe Aufgabe:
E: 0,5 x1 + x2 + x3 - 1 = 0
Eine Kugel vom Radius 4 rollt auf der Ebene E hinunter. (Schwerkraft
entgegen der x3 Richtung). Bestimme eine Gleichung der Gerade, auf
der der Kugelmittelpunkt läuft, wenn er in S(0/0/m) startet.
Ich komm irgendwie nicht richtig drauf… m hätte ich aber dann
danach…
Würde mich freuen wenn du mir helfen könntest.
Vielen Dank im Voraus…
Hallo Sandra,
na da ist ja mal was Anspruchsvolles zum Freitag abend! Es wäre gut, wenn Du mal dazu schreibst, welche Vorkenntnisse Du so hast. Ich tippe mal - Mathe 13. Klasse Leistungskurs?
Ich gebe nur mal ein paar Anregungen. Zuerst möchte ich mal bitte anstelle von x1, x2 und x3 lieber x,y und z benutzen. OK? Dann reduziere ich die Kugel mal auf einen Massenpunkt, also auf Radius 0. Du müsstest dann nur zum Ergebnis bei der z-Komponente dieses m addieren.
Ich gehe also davon aus, dass meine Minikugel bei (0,0,1) startet (die 1 kommt aus der Ebenengleichung). Das wäre auch schon der erste Punkt für Deine Geradengleichung. Jetzt brauchst Du „nur“ noch einen zweiten Punkt, dann kannst Du die Geradengleichung aufstellen. Dieser gesuchte zweite Punkt liegt schon mal auf der Ebene. Er soll mal die Koordinaten (xE,yE,zE) haben. Das E steht dabei für „Endpunkt“. Für zE können wir mal was Willkürliches wählen, z.B. zE=0. Wir wollen also ausrechnen, wo genau die Kugel ist, wenn sie eine Einheit an Höhe verloren hat. Die Kugel wird denjenigen Weg wählen, wo sie auf der Höhe z=0 den kürzesten Weg zurückgelegt hat (von allen möglichen Wegen). Diesen kürzesten Weg musst Du berechnen und dann minimieren. Berechnen kannst Du ihn mit dem räumlichen Pythagoras. Und dann halt minimieren - also z.B. nach xE ableiten und 0 setzen. Damit hast Du eine Gleichung. Die zweite ist die Ebenengleichung, also 0,5xE + yE + 0 -1 = 0. Aus diesen beiden Gleichungen solltest Du xE und yE ausrechnen können.
Also das wäre im Groben mein Vorschlag für den Weg. Vielleicht geht es ja auch viel einfacher.
Also mach was draus und lass uns dran teilhaben.
Viel Spaß.
Olaf
Tach Sandra,
es ist früh, mein Ohr blutet vom Überseetelefonat und die Äuglein sind klein. Aber als Physiker habe ich gelernt, dass Kugeln dahin rollen, wo die Kräfte sie ziehen. Kräfte in dem Fall sind die Spannvektoren (wenn Du die Ebenengleichung umformst), d.h. mM nach müsste die Kugel in Richtung (2,1,-2) rollen. Mit Startpunkt bekommst Du die Geradengleichung des Schwerpunkts raus.
Wenn was nicht stimmt, schrei. Ich schau morgen (heute) gerne nochmal genauer hin.
Gruß
aleX
Hallo!
Vorerst schonmal DANKE an alle, die mir bei der Aufgabe geholfen haben!!
Danke Olaf für die ausführliche Hilfe, ich werde mich heute im Laufe des Tages nochmal dran setzen und schauen, dass ich eine Lösung finde.
Die Tips von dir und von Alex müssten schätzungsweise ausreichen. 
Ich werde dann meine Lösung präsentieren (sofern ich eine herausbekommen habe 
)
Hallo,
dass Kugeln dahin rollen, wo die Kräfte sie ziehen.
meine Idee: Der Gradient gibt an, wohin es sie zieht.
Der durch 1/2 x + y + z – 1 = 0 spezifizierten Ebene entspricht die Höhe-z-über-xy-Ebene-Funktion
z(x, y) = –1/2 x – y + 1
Die Gravitation wirkt laut Aufgabenstellung entgegen der z-Richtung. Somit wird der Schatten der Kugel auf der xy-Ebene (Beleuchtung von „oben“), wenn man die Kugel über (0, 0) plaziert und dann loslässt, in Richtung des Vektors –grad z beschleunigt, und das ergibt
–grad z = –(∂x/∂z, ∂y/∂z) = –(–1/2, –1) = (1/2, 1)
Hat der Schatten (1/2, 1) erreicht, befindet sich die Kugel an der Position (1/2, 1, –1/4), denn z(1/2, 1) = –1/4. Damit sollte der Rest der Aufgabe kein Problem mehr sein.
Kräfte in dem Fall sind die Spannvektoren (wenn Du die Ebenengleichung
umformst),
Hm, die Spannvektoren einer Ebene sind doch gar nicht eindeutig; wenn man einen fünf mal so lang macht, ändert das an der Ebene garnichts. Oder irre ich mich da?
Gruß
Martin
Hallo,
meine Idee: Der Gradient gibt an, wohin es
sie zieht.
ja, die Idee ist richtig. Der Gradient ist der steilste Abstieg, und somit auch der kürzeste Weg. Die Beschreibung mit dem Gradient ist sicher der eleganteste Weg.
Hm, die Spannvektoren einer Ebene sind doch gar nicht
eindeutig; wenn man einen fünf mal so lang macht, ändert das
an der Ebene garnichts. Oder irre ich mich da?
Nein, Du irrst nicht. Mit den Spannvektoren hat die Lösung nichts zu tun. Die können zufällig überall hin zeigen, auch aufwärts.
Olaf
Hallo ihr Martin und Olaf,
danke für das Feedback - alles korrekt was ihr schreibt, aber
Wird so eine Aufgabe tatsächlich an Unis gestellt? Kenne das nur aus der Schule, also nix mit Gradienten.
Habe die Spannvektoren beide bis z=0 laufen lassen (das in etwa einem Gradienten nahe kommt)
Meine Antwort wurde durch die Minimalisierungsaufgabenantwort motiviert, das zwar Schulniveau ist, aber extrem umständlich.
Ändert nichts an der Tatsache, dass der eleganteste Weg mit Sicherheit von Dir beschrieben wurde!
Gruß
jartUl