Liebe/-r Experte/-in,
Ich habe zwei Druckluftbehälter mit einem Druckreduzierventil verbunden. Im ersten Tank habe ich ein Volumen 2000 l, verdicht auf 4bar(g)und eine Temperatur von 30°C im zweiten Tank 1000 l habe ich 1bar(a) und eine Temperatur von 20°C.
Wenn ich jetzt das Druckreduzierventil öffe und in 2 sekunden einen druck anstieg im zweiten tank von 1.6 bar(g) erlage wie gross ist die Temperaturdifferenz in diesem Tank?
Eine anspruchsvolle Aufgabe! (Für einen Schüler)
Zuerst einmal bitte ich um Entschuldigung, dass ich so spät antworte. Ich kann da nur empfehlen, auch andere Ratgeberforen zu benutzen.
Erstmal die Formelzeichen (bevor ich das vergesse):
p: Druck
V: Volumen
m: Masse
\rho: Dichte
T: Temperatur
\kappa: Isentropenexponent, bei Luft etwa 1,4
N: Teilchenanzahl
k: Boltzmannkonstante (Wert für die Rechnung unwichtig)
Indizes: Ich werde i.F. immer 2 Indizes benutzen, der erste unterscheide Tank 1 und 2, der zweite vor (1) und nach (2) dem Druckausgleich. Nur beim Volumen lasse ich den zweiten Index weg, da sich die Ausdehnung eines Tanks ja nicht ändert.
Ich würde davon ausgehen, dass das Gas, was ausströmt, mit dem Zurückbleibenden kaum Wärme austauscht und mit der Umgebung auch nicht. (In 2 Sekunden ist dafür einfach keine Zeit und sonst würden die 30 °C auch keinen Sinn ergeben.) Dann dehnt sich letzteres adiabatisch aus. (Wikipedia adiabatische zustandsänderung, sorry aber ich hab keine Lust rauszubekommen wie man hier links schreibt)
Das zurückbleibende Gas interessiert zwar eigentlich gar nicht, aber es ebnet einen Rechenweg.
Es gilt daher:
{T_{12} \over T_{11}} = \left({p_{12} \over p_{11}} \right)^{ \kappa -1 \over \kappa}
Es gilt für homogene Gase (also wenn überall gleiche Bedingungen herrschen) weiter folgende Sätze:
p\cdot V=N\cdot k\cdot T
Da die Temperatur die mittlere kinetische Energie der Gasteilchen repräsentiert und mit der Teilchenanzahl multipliziert wird, drückt der Term auf der rechten Seite ein Vielfaches der thermischen Energie des Gases aus. Da aber (nach Annahme) weder Wärme das System der beiden Tanks verlässt, noch Volumenarbeit verrichtet wird (wenn sich ein Tank auszudehnen beginnt, sollte man das Weite suchen), muss die Gesamtenergie der Teilchen erhalten bleiben.
N_{11}\cdot T_{11}+N_{21}\cdot T_{21}=N_{12}\cdot T_{12}+N_{22}\cdot T_{22}
\Rightarrow
p_{11}\cdot V_1+p_{21}\cdot V_2=p_{12}\cdot V_1+p_{22}\cdot V_2
Umgestellt:
p_{12}V_1=p_{11}\cdot V_1+p_{21}\cdot V_2-p_{22}\cdot V_2
p_{12}=\frac{p_{11}\cdot V_1+p_{21}\cdot V_2-p_{22}\cdot V_2}{V_1}
.
Nehmen wir nocheinmal p\cdot V=N\cdot k\cdot T her und dividieren durch T. Dann steht rechts ein Vielfaches der Teilchenanzahl, welche ja auch gleich bleiben muss.
\Rightarrow
\frac{p_{11}\cdot V_1}{T_{11}}
+\frac{p_{21}\cdot V_2}{T_{21}}
=\frac{p_{12}\cdot V_1}{T_{12}}
+\frac{p_{22}\cdot V_2}{T_{22}}
Dabei ist
T_{12}=T_{11}\cdot\left({p_{12} \over p_{11}} \right)^{ \kappa -1 \over \kappa}
Nun kann man nach T_{22} und erhält:
T_{22}=
\frac
{p_{22}V_{2}}
{
\frac{p_{11}\cdot V_1}{T_{11}}
+\frac{p_{21}\cdot V_2}{T_{21}}
-\frac{p_{12}\cdot V_1}{T_{12}}
}
=
\frac
{p_{22}V_{2}}
{
\frac{p_{11}\cdot V_1}{T_{11}}
+\frac{p_{21}\cdot V_2}{T_{21}}
-\frac{p_{11}\cdot V_1+p_{21}\cdot V_2-p_{22}\cdot V_2}{T_{11}\cdot\left({p_{12}\over p_{11}} \right)^{ \kappa -1 \over \kappa}}
}
=
\frac
{p_{22}V_{2}}
{
\frac{p_{11}\cdot V_1}{T_{11}}
+\frac{p_{21}\cdot V_2}{T_{21}}
-\frac{p_{11}\cdot V_1+p_{21}\cdot V_2-p_{22}\cdot V_2}{T_{11}\cdot\left({\frac{p_{11}\cdot V_1+p_{21}\cdot V_2-p_{22}\cdot V_2}{V_1}\over p_{11}} \right)^{ \kappa -1 \over \kappa}}
}
(Ja, das kan man nun noch etwas vereinfachen (die Doppelbrüche), was ich aber jetzt nicht vormachen will.)
Setzt man ein:
V_{1}=2 \mathrm{m}^3
V_2=1 \mathrm{m}^3
p_{11}=4\cdot 10^5 \mathrm{Pa} (Einheit: Pascal)
p_{21}=1\cdot 10^5 \mathrm{Pa}
p_{22}=2{,}6\cdot 10^5 \mathrm{Pa}
T_{11}=303\mathrm{K}
T_{12}=293\mathrm{K}
kürzen sich die ganzen SI-Einheiten brav raus (bis auf das Kelvin) und man erhält (wenn man die gleichen Fehler macht wie ich 
):
T_{22}=356 \mathrm{K}
=83\mathrm{C}
(Es gibt Probleme mit dem °-Zeichen)
Ich werd mal drüber nachdenken, ob das plausibel ist, dass das heißer als 30°C wird, aber ich kanns mir schon vorstellen.
Ich hoffe doch, die Antwort kann Ihnen jetzt noch etwas nützen!