Hallo Jenni,
Lasse die Reibungsverluste „aussen vor“, sie sind bei dieser
Betrachtung vernachlässigbar.
Warum, ich weiß noch gar nicht wie groß die sind. Warum kann
ich sie denn vernachlässigen? Sofern ich den Verlust nicht
messen kann, kann ich ihn gern vernachlässigen.
Den geringen Anteil haben seit langem schlaue Physiker herausgefunden. Praktiker/Ingenieure, denen es nicht auf das allerletzte Prozent ankommt, rechnen deswegen in der Regel unter Vernachlässigung der Reibung, was auch genau genug ist. Die Berechnung incl Reibung ist deutlich aufwendiger, unter Zuhilfenahme von Tabellen für die Verlustfaktoren der verschiedenartigsten Umlenkungen/Einschnürungsformen.
Zum Gartenschlauch: Angenommen, der Schlauch ist sehr lang und
hat eine rauhe Oberfläche, sodass die Reibung nicht
vernachlässigbar ist:
Dass die Reibung vernachlässigbar ist kannst du sogar „erfühlen“ : fahre mal mit deinem Finger (unter wenig Druck) über die unter Wasser stehende Oberfläche. Dann merkst du, wie das „flutscht“.
Wo herscht der größte Volumenstrom? Am Anfang, oder?
Klar. Alles was hinten in eizelnen kleineren Mengen herausfließt,
das muss vorne als größere Gesamtmenge hereinströmen.
Siehe auch die Kontinuitätsgleichung,
Zu Beginn wird das Wasser am ersten Abzweig
vorbei gehen, ist ja ein Widerstand. Also fließt das Wasser
zunächst im Schlauch weiter. Nachdem sich im Schlauch
allmählich der Druck aufgebaut hat, wird das Wasser dann den
ersten Abzweig bevorzugen, da dann der lange Schlauch einen
Wiederstand darstellt. Ist meine Vorstellung so korrekt?
Betrachte für die Lösung deiner Aufgabe nur den stationären Zustand. Nicht den Aufbau der Strömung beim Auffüllvorgang, sondern den stabilen Zustand der Strömung.
Nun, gut vernachlässigen wir ersteinmal die Reibung.
Beispiel: Hauptrohr mit 3 Abzweigen, wobei die Abzweige am
Ende je eine Düse mit unterschiedlichem Querschnitt haben.
Hinter den Düsen herscht Luftdruck.
geg:
Q0=20 L/min (Hauptrohr)
Du wirst sehen, dass diese Angabe „zu viel“ ist,
dh Q0 folgt aus den folgenden vier Angaben :
p0=4 bar
A0=100mm² (Querschnitt Hauptrohr)
A1=10mm²
A2=20mm²
A3=30mm²
unbekannt und platztechnisch nicht messbar sind: p1…p3 sowie
v1…v3
ges: Q1…Q3
Lös:
Q0=Q1+Q2+Q3
(Massenerhaltung = Kontinuitätsgleichung)
Daraus ergibt sich: [1] A0*v0=A1*v1+A2*v2+A3*v3
Korrekt.
Q=A*v=konst.
Das ist zwar richtig, aber es folgt aus der Definition des Volumenstroms. Es ist nicht die Kontinuitätsgleichung.
[2] p+rho/2*v²=konst (Bernoullische Gleichung)
Oder auch die Energieerhaltung beschreibende Gleichung genannt.
Hierbei nicht berücksichtigt : Änderungen in der Höhe h, die das Wasser im Verlauf ggfls einnimmt. Das wäre aber kein Problem, h*g*rho [g=Erdbeschleunigung] in den Druck p mit aufzunehmen.
Nun betrachten wir den Bernoulli am Eingang 0 und an der Abzweigung von 1 :
[2a] p0+rho/2*v0²=p1+rho/2*v1² p1=1bar (Atmosphärendruck)
sowie p0+rho/2*v0²= Zustand im Hauptrohr nach Abzweig 1,
dann nach der Abzweigung von 1 und an der Abzweigung von 2,
und so weiter.
Dieselbe Systematik mit den Kontinuitätsgleichungen ermöglicht die Geschwindigkeiten zueinander in Relation zu setzen.
Das ergibt einiges an Gleichungen, die man nur noch in Fleißarbeit „aufdröseln“ muss.
Und - was man eigentlich auch von vorneherein aus Bernoulli hätte lesen können - daraus ergibt sich :
[3] v1=v2=v3
[3] in [1] eingesetzt und quadriert : [1a] A0*v0²=v1²*(A1+A21+A3)
[2a] nach v1² aufgelöst [2c] v1²=v0²+2/rho*(po-p1)
[2c] in [1a] und nach v0² aufgelöst ergibt
v0²=rho/2*(po-p1)*(A1+A21+A3)²/(A0²-(A1+A21+A3)²)
v0=sqrt(v0²)
Da v1…v3 und p1…p3 unbekannt sind, ist es nicht möglich
Q1…Q3 zu bestimmen.
Jetzt, wo vo bekannt ist, kannst du Q0=v0*A0 berechnen,
auch v1 nach [2c], damit auch - unter Berücksichtigung von [3] die Q1 bis Q3.
Und wenn du die Drücke haben willst, dann den Bernoulli.
Oder teilt sich der Volumenstrom wie folgt auf:
Q1=A1/(A1+A2+A3), Q2=A2/(A1+A2+A3), Q3=A3/(A1+A2+A3).
Welche Gesetzmäßigkeit steckt gegebenfalls dahinter?
Das trifft nicht zu. Wie kommst du denn darauf ?
Gruß
Karl
