Die DSGVO bzw. das BDSG sind natürlich zu beachten; die Frage ist nur, welche Konsequenzen sich für Dich daraus ergeben. Wenn Du die Namen der Mieter elektronisch verarbeitest oder sich bspw. aus Nummer der Wohnung und Adresse ableiten läßt, auf wen sich die Angaben beziehen, bist Du bei den personenbezogenen Daten. Wenn Du darüber hinaus noch Daten speicherst/verarbeitest, die nicht zwangsläufig für die Abwicklung des Mietverhältnisses notwendig sind (wie z.B. Geburtsdatum, Familienstand oder frühere Anschrift bist Du noch sehr viel mehr dabei als Dir lieb sein dürfte. Gibst Du die Daten der Mieter auch noch an einen Dritten weiter (z.B. zur Erstellung der Heizkostenabrechnung), darfst Du Dich auch noch mit den Freuden des Abschlusses eines Auftragsverarbeitungsvertrages mit dem Dienstleister auseinandersetzen.

Kurz gesagt: inwieweit Dich DSGVO und BDSG betreffen, kann man erst sagen, wenn klar ist, welche Daten wozu gespeichert werden und was mit ihnen geschieht.

Ein bißchen Hilfestellung gibt da Haus & Grund:
https://www.haus-und-grund-bonn.de/index.php/aktuelles/aktuelle-nachrichten/998-datenschutzgrundverordnung-was-muessen-vermieter-wissen-2

Gruß
C.