Hallo
Ich hab ein Problem aus dem Bereich der axiomatischen Mengenlehre (ZFC) und mathematischen Logik mit dem ich nicht weiter komme.
Wenn man es mit der Mengenlehre nicht so genau nimmt bildet man gerne den Durchschnitt beliebiger Mengen und bezeichnet dann das Ergebnis wieder als Menge. Auch in der Mengenlehre scheint das bedenkenlos gemacht zu werden. Dabei lässt sich das Bilden des Durchschnitts ja eigentlich auf die Anwendung des Aussonderungsaxioms zurückführen.
Seien dazu zum Beispiel A und B Mengen. Den Durchschnitt erhält man dann, wenn man alle Elemente X aus A aussondert, die das Prädikat X e B (lies X ist Element von B) nicht erfüllen.
Jetzt will ich das Prädikat aber mal ganz streng als Formel der Prädikatenlogik erster Stufe betrachten. Soweit ich weis werden diese dort als Aussagen betrachtet, in denen nur die jeweiligen Argumente des Prädikats frei vorkommen, d.h. alle anderen Variablen ausser den Argumenten sind gebunden.
Ich will nun das Prädikat P(X) mit X e B in der Sprache der Prädikatenlogik schreiben. Dabei stoße ich auf das Problem, dass B weder eine freie Variable (da es kein Argument ist) noch eine Konstante (da ZFC keine enthält) sein kann. Ich muss also versuchen durch eine prädikatenlogische Formel auszudrücken was B ist. Das ist bei Mengen, welche durch Axiome wie die für Paarmengen, Vereinigeungsmengen oder Potenzmengen gebildet werden noch recht nachvollziehbar. Aber spätestens wenn ich das Auswahlaxiom betrachte stoße ich auf Schwierigkeiten.
Es ist zum Beispiel so, dass es nicht möglich ist eine Auswahlfunktion auf der Potenzmenge der reellen Zahlen anzugeben. Mit Sicherheit gibt es noch weitere solche Mengen, von denen man zwar die Existenz nachweisen kann, welche man aber nicht durch ein Prädikat explizit angeben kann.
Seien A und B nun solche Mengen. Dann ist es doch unmöglich das Prädikat X e B in der Sprache der Prädikatenlogik anzugeben (sonst könnte man zB ganz einfach mit diesem Prädikat die entsprechende Auswahlmenge aus der Menge der rellen Zahlen aussondern und bräuchte dafür nicht das Auswahlaxiom). Demzufolge ist es nicht möglich den Durchschnitt von A und B zu bilden.
Ich lese aber immer, dass durch das Aussonderungsaxiom gesichert sei, dass die Schnittmenge zweier Mengen stets wieder einer Menge ist.
Was stimmt hier nicht? Danke für eure Antworten
MfG IGnow