Hallo,
ich habe hier zwei Formeln, die ich vereinfachen muss, und zwar:
\left(1 + \frac{k}{k_{0}} \right) e^{ia(-k_{0}-2k)} - \left(1 - \frac{k}{k_{0}} \right) e^{-ia(k_{0}-2k)}
\left(1 + \frac{k}{k_{0}} \right)^2 e^{ia(k_{0}-2k)} - \left(1 - \frac{k}{k_{0}} \right) e^{-ia(-k_{0}-2k)}
Ich weiß, dass e^{ix} - e^{-ix} = 2 i \sin(x) , aber die Anwendung be-
reitet mir Probleme. Bitte um Hilfe, komme aktuell nicht weiter.
Gruß.
Hi,
hast Du im zweiten Ausdruck ein Quadrat vergessen?
Es würde als erstes helfen, die Exponenten auszumultiplizieren, vor allem, damit doppelte Minuszeichen aufgelöst werden. Dann gemeinsame Faktoren herausziehen und dann Sinus und Kosinus identifizieren.
Ciao Lutz
\left(1 + \frac{k}{k_{0}} \right) e^{ia(-k_{0}-2k)} - \left(1
- \frac{k}{k_{0}} \right) e^{-ia(k_{0}-2k)}
Hallo,
vielleicht hilft dir folgende Umformung weiter.
\left( 1+\frac{k}{k_0}\right) e^{ia(-k_0-2k)}-\left(1-\frac{k}{k_0}\right) e^{-ia(k_0-2k)}
=e^{-iak_0}\left(\left(e^{-2iak}-e^{2iak}\right)+\frac{k}{k_0}\left(e^{-2iak}+e^{2iak}\right)\right)
Gruß,
hendrik
Danke! Sieht gut aus, kann es aber aktuell nicht nachvollziehen.
Betrachten wir mal den ersten Ausdruck, Exponenten ausmultipliziert:
\left(1 + \frac{k}{k_{0}} \right) e^{-ik_{0}a - 2ika} - \left(1 - \frac{k}{k_{0}} \right) e^{-ik_{0}a + 2ika}
\ = e^{-ik_{0}a} ( (1 + \frac{k}{k_{0}}) e^{-2ika} - (1 - \frac{k}{k_{0}}) e^{2ika}
Das in der Klammer sieht gut aus, um den sinus anzuwenden, aber
mich verwirren die Vorfaktoren!
aber
mich verwirren die Vorfaktoren!
Hi,
die musst Du halt auch ausmultiplizieren, wie es Hendrik schon gemacht hat.
Oder Du setzt die Euler-Formel
exp(ix)=cos(x)+i*sin(x)
direkt ein und fasst danach gleiches zusammen.
Gruß, Lutz
\left(1 + \frac{k}{k_{0}} \right) e^{-ik_{0}a - 2ika} -
\left(1 - \frac{k}{k_{0}} \right) e^{-ik_{0}a + 2ika}
\ = e^{-ik_{0}a} ( (1 + \frac{k}{k_{0}}) e^{-2ika} - (1 -
\frac{k}{k_{0}}) e^{2ika}
Jetzt musst du noch die inneren Klammern ausmultiplizieren und dann k/k0 ausklammern, dann hast du es.
Gruß,
hendrik
Ich hab’s ausmultipliziert. Ist z.B. exp(-2ika) - exp(2ika) = 2i sin(2ka)?
Für den ersten Ausdruck habe ich nun exp(-ik_0a) * [2i sin(2ka) + 2k/k_0 cos(2ka)]
Sieht gut aus.
Lutz
Vielen Dank für Eure Hilfe, ihr habt mich wirklich weitergebracht.