Guten Abend,
die Bewegungsenergie E = 1/2 m v^2 ist bekannt.
Wo ist bei Einsteins Formel das 1/2 geblieben? Bzw. wo kommt das 1/2 bei der Bewegungsenergie her?
Danke.
Gruß
ziegen1
Hi,
also
E = {1 \over 2} mv^2
bezeichnet die nicht-relativistische kinetische Energie.
Relativistisch hat man wegen dem Viererimpuls
E_{rel} = \sqrt {m^2 c^4 + p^2 c^2}
Hier noch der entsprechende Wiki-Artikel:
http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenz_von_Mas…
(Für den Rest der Formel steh ich grad selber auf dem Schlauch)
Warum wie heute
E = {1 \over 2} mv^2
haben, bzw. woher das 1/2 kommt: wenn ich mich richtig erinnere, war man lange der Meinung, es würde E = mv² heißen. Aber Ingenieure haben Anfang des 19.Jhd. festgestellt, dass das nicht richtig sein kann und sämtliche Berechnungen stimmen, wenn man noch 1/2 dazu schreibt -> E = mv²/2 = p²/(2m)
Aber ohne Garantie. Ist jetzt nur aus dem Gedächnis aufgeschrieben.
Anke
die Bewegungsenergie E = 1/2 m v^2 ist bekannt.
Wo ist bei Einsteins Formel das 1/2 geblieben?
Einsteins Formel gilt für die Ruheenergie und die Ruhemasse und hat deshalb nichts mit der Bewegungsenergie zu tun. Für Energie und trägen Masse gilt allerdings die gleiche Äquivalenz. Die erhält man durch Integration der Beschleunigungsarbeit über den Weg:
dW = F \cdot ds = v \cdot dp
Mit der relativistischen Geschwindigkeitsabhängigkeit der trägen Masse
m = \frac{{m_0 }}{{\sqrt {1 - \frac{{v^2 }}{{c^2 }}} }}
folgt für den Impuls
p = m \cdot v = \frac{{m_0 \cdot v}}{{\sqrt {1 - \frac{{v^2 }}{{c^2 }}} }}
und sein Differential
dp = m \cdot dv + v \cdot dm = m_0 \frac{{dv + v \cdot \frac{{v \cdot dv}}{{c^2 - v^2 }}}}{{\sqrt {1 - \frac{{v^2 }}{{c^2 }}} }} = m \cdot \left[{dv + v \cdot \frac{{v \cdot dv}}{{c^2 - v^2 }}} \right]
und das alles ergibt zusammen die überraschend einfache Differentialgleichung
dE = dm \cdot c^2
Die Integration liefert zunächst
E = E_0 + \left( {m - m_0 } \right) \cdot c^2
und das reduziert sich mit der von Einstein hergeleiteten Äquivalenz von Ruhemasse und Ruheenergie zu
E = m \cdot c^2
Bzw. wo kommt das 1/2 bei der Bewegungsenergie her?
Das läuft genauso, nur dass die träge Masse bei Gültigkeit der Galileitransformation Geschwindigkeitsunabhängig ist. Damit gilt für das Differential des Impulses
dp = m_0 \cdot dv
und somit für die Arbeit
dW = m_0 \cdot v \cdot dv
Und wenn man das integriert, dann erhält man
E = {\textstyle{1 \over 2}}m_0 \cdot v^2
Hallo DrStupid,
vielen Dank.
Das mit der Ruhemasse hatte ich nicht bedacht.
Habe es mal nachgerechnet und kann es nun nachvollziehen.
Besonders die sich ergebende Diffenrentialgleichung ist ja wirklich schön.
Nochmals Danke.
Ach noch was: Dein Name passt nicht zu Deiner Erklärung!!!
Gruß
ziegen1
Hallo,
Warum wie heute
E = {1 \over 2} mv^2
haben, bzw. woher das 1/2 kommt: wenn ich mich richtig
erinnere, war man lange der Meinung, es würde E = mv² heißen.
Das m*v² geht auf eine Reihe von Leuten zurück, insbesondere auf Gottfried Leibniz, der das, was wir heute kinetische Energie nennen, 1686 in seinem Aufsatz „Brevis demonstratio erroris memorabilis Cartesii“ als „vis viva“ (also die lebendige Kraft) bezeichnete und dabei die These von der Abhängigkeit vom Quadrat der Geschwindigkeit aufstellte. Andere Leute trugen ebenfalls dazu bei, z.B. Émilie du Châtelet, Willem 's Gravesande, etc…
Das ganze entstammte jedoch einer Zeit, als man sich Ende des 17. Jahrhunderts und Anfang des 18. Jahrhunderts überhaupt erst über das Konzept von kinetischer Energie und Impuls klar wurde.
Ein bisschen zum Lesen dazu hier:
http://web.mac.com/kegavin/Sean/Course_information_f…
http://en.wikipedia.org/wiki/Vis_viva
Der Faktor 1/2 war damals noch gar nicht relevant, denn der Disput lag viel tiefer, denn Newton und Descartes sahen die Abhängigkeit nur von mv (also nicht vom Quadrat der Geschwindigkeit). Das Problem war, dass man sich über die Konzepte Impuls, Bewegungsenergie, elastischer und unelastischer Stoß etc nicht im klaren war. Newtons m*v bezog sich auf den Impuls, Leibniz’ m*v² dagegen auf die kinetische Energie.
Der Faktor 1/2 in der kinetischen Energie wurde in der Tat erst viel später eingeführt, aber nicht von Ingenieuren durch Nachmessen oder Bauen, sondern 1829 aufgrund mathematischer Zwänge von Gustave Coriolis und auch in den Arbeiten von Jean-Victor Poncelet.
Insgesamt ist der Disput zwischen der Leibnizschen Sicht und der Newtonschen/Descartschen Sicht ein sehr interessantes Kapitel der Wissenschaftsgeschichte.
vg.
d.
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