Hossa 
Die Dreiecksfläche BCS liegt in einer Ebene E2
Berechnen Sie eine Gleichung der Ebene E2 in Koordinatenform
B(3|3|7), C(-3|3|7), S(0|0|13)
Als erstes musst du einen Vektor n ausrechnen, der auf der Ebene senkrecht steht. Dazu bietet sich das Kreuzprodukt der beiden Vektoren von B nach C und von B nach S an. Das Kreuzprodukt zweier Vektoren steht immer senkrecht auf der durch sie aufgespannten Fläche.
\vec n=\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{BS}=\left(\vec c-\vec b\right)\times\left(\vec s-\vec b\right)
\vec n=\left[\left(\begin{array}{c}-3\3\7\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}3\3\7\end{array}\right)\right]\times\left[\left(\begin{array}{c}0\0\13\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}3\3\7\end{array}\right)\right]=\left(\begin{array}{c}-6\0\0\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}-3\-3\6\end{array}\right)
\vec n=\left(\begin{array}{c}0\36\18\end{array}\right)=18\cdot\left(\begin{array}{c}0\2\1\end{array}\right)
Sei nun x ein beliebiger Vektor vom Ursprung zu einem Punkt in der gesuchten Ebene. Wenn man x auf n projeziert, kommt für alle Punkte X der Ebene der gleiche Wert d heraus.
E2:;\vec n\cdot\vec x=d
Streng genommen muss man für eine korrekte Projektion von x auf n mit dem Einheitsvektor von n multiplizieren. Das ist beim Aufstellen einer Ebenengleichung aber egal, da die Länge von n auch als Faktor in dem zu berechnenden d auftauchen wird.
Die Ebenengleichung E2 muss natürlich auch für jeden Punkt in der Ebene gelten. Zum Berechenen von d kannst du einen beliebigen auswählen, z.B. den Punkt S:
d=18\cdot\left(\begin{array}{c}0\2\1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}0\0\13\end{array}\right)=234
Zusammengebaut:
E2:;18\cdot\left(\begin{array}{c}0\2\1\end{array}\right)\cdot\vec x=234
Wenn man nun noch auf beiden Seiten durch 18 teilt und das Skalarprodukt ausmultipliziert, erhält man die gesuchte Lösung:
E2:;2,x_2+x_3=13
Wie erwartet taucht hier x1 nicht als Koordinate auf, da die Ebene parallel zur x1-Achse verläuft.
und zeigen Sie, dass die Punkte F1(0|1|11), F2(1|2|9) und
F3(-1|2|9) in der Ebene E2 liegen.
Dazu müssen die Drei Punkte die Ebenengleichung E2 erfüllen:
F_1:;2\cdot 1+11=13
F_2:;2\cdot 2+9=13
F_3:;2\cdot 2+9=13
Viele Grüße
Hasenfuß
