hallo leute, ich steh grad schwer auf der leitung
ist die fkt x|->1/x^2 unstetig in null oder kann man das nicht sagen da fin null nicht definiert ist - ich meine der links und rechtsseitige limes sind beide +unendlich
danke ciao martin
hallo leute, ich steh grad schwer auf der leitung
ist die fkt x|->1/x^2 unstetig in null oder kann man das
nicht sagen da fin null nicht definiert ist - ich meine der
links und rechtsseitige limes sind beide +unendlich
Ich habe nachgesehen: Stetigkeit liegt vor wenn beide Grenzwerte *gleich*
sind. Das sind sie nicht, da sie nicht existieren. Der limes ist ja nicht gleich +unendlich, sondern strebt gegen unendlich.
=> Funktion nicht stetig, oder meine Quelle war falsch.
VG, Stefan (Ich hab kein Analysisbuch hier und muss auf das sch*** Internet vertrauen)
hallo leute, ich steh grad schwer auf der leitung
ist die fkt x|->1/x^2 unstetig in null oder kann man das
nicht sagen da fin null nicht definiert ist - ich meine der
links und rechtsseitige limes sind beide +unendlichIch habe nachgesehen: Stetigkeit liegt vor wenn beide
Grenzwerte *gleich*
sind. Das sind sie nicht, da sie nicht existieren. Der limes
ist ja nicht gleich +unendlich, sondern strebt gegen
unendlich.
=> Funktion nicht stetig, oder meine Quelle war falsch.
Dann nehmen wir doch mal f(x)=x²/x². Da existiert der Limes für x->0 und ist auch für beide Seiten gleich, aber f(0) existiert nicht. Nach Deiner Quelle wäre die Funktion stetig - trotz Definitionslücke. Mein Bronstein-Semendjajew sagt aber, daß x0 zum Definitionsbereich der Funktion gehören muß:
"Eine Funktion f heißt an der Stelle x0 ∈ D(f) stetig, wenn es zu jeder beliebig vorgegebenen Zahl ε > 0 eine Zahl δ > 0 gibt, so daß für alle x mit |x-x0|0)|
Unter der Vorrausetzung, dass mir mein Mathelehrer in der elften keinen Scheiß erzählt hat, ist diese Funktion in null stetig. Den Stetigkeit kann man auch über die kleinste Deltaumgebung definieren und da kein Punkt „aus dem Rahmen“ fällt, auch wenn im kleinsten Rahmen kein Punkt definiert ist (in diesem Fall wäre das die null, die ja nicht definiert ist).
Neispiel: Die Funktion f(x)= x mit D = R{1} ist im Punkt 1 auch stetig, obwohl die 1 nicht definiert ist.
Zum Grenzwert: Auch wenn die Grenzwerte nicht existieren, solange sie von beiden Seiten auf dasselbe zustreben sind sie auch stetig.
Goffe, das war nicht allzu verwirrend
Mfg
Rainer
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Ich denke dein Einwand ist berechtigt. (owT)
oT
Hallo,
die Funktion ist in Null nicht definiert, und damit weder stetig noch unstetig.
Über etwas was es nicht gibt, kann man ja sagen, was man will. Mein Mathelehrer sagte dazu: „die Aussage ‚Die Funktion f(x)= 1/x ist bei x=0 stetig‘ fällt in die selbe Kategorie wie die Aussage ‚Wenn ich nach Moskau fahre, sprenge ich den Kreml in die Luft‘“
Gruß
Oliver
Dann nehmen wir doch mal f(x)=x²/x². Da existiert der Limes
für x->0 und ist auch für beide Seiten gleich, aber f(0)
existiert nicht.
Wobei in diesem Fall allerdings die Definitionslücke mittels:
x->x²/x², falls x ungleich Null
->1, x=0
stetig hebbar ist.
Gruß
Oliver
jede in einem punkt nicht stetige funktion ist unstetig.diese funktion ist weder recht-, noch linksseitig stetig - somit unstetig.
die unstetigkeitsstelle(kann auch einen nicht definierten grenzwert haben) dieser funktion ist dann bei deinem beispiel auch die polstelle.
mfg
rene
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Hallo,
Unter der Vorrausetzung, dass mir mein Mathelehrer in der
elften keinen Scheiß erzählt hat, ist diese Funktion in null
stetig.
Wenn er das so gesagt hat, dann hat er Mist erzählt. Aber ich glaube nicht, dass er das so gesagt hat.
Den Stetigkeit kann man auch über die kleinste
Deltaumgebung definieren
Du sprichst vom sogenannten Epsilon-Delta-Kriterium für Stetigkeit.
Das gibt es und das ist tatsächlich ein übliches Kriterium, um Stetigkeit in einer Stelle zu definieren.
Das Kriterium besagt:
Für alle Epsilon > 0, existiert ein Delta > 0, so dass für alle x aus dem Definitionsbereich gilt: Wenn x in der Deltaumgebung von x_0 liegt, dann liegt f(x) in der Epsilonumgebung von f(x_0).
Ist dieses Kriterium erfüllt, so ist f an der Stelle x_0 des Definitionsbereichs, stetig.
und da kein Punkt „aus dem Rahmen“
fällt, auch wenn im kleinsten Rahmen kein Punkt definiert ist
(in diesem Fall wäre das die null, die ja nicht definiert
ist).
Leider nicht ganz. Delta muss größer als Null sein. Und da liegen immer auch Punkte in der Deltaumgebung von Null, bei denen der Funktionswert weit weg ist. Also mit Deinen Worten: „aus dem Rahmen fällt.“
Weit weg, wovon eigentlich?
Na vom Funktionswert f(0). Den gibt es aber gar nicht.
Na dann ist die Funktion da sowieso erstmal nix.
Neispiel: Die Funktion f(x)= x mit D = R{1} ist im Punkt 1
auch stetig, obwohl die 1 nicht definiert ist.
Nein. Die Funktion ist dort nicht stetig. Sie hat dort nicht definiert. Man kann die Funktion an der Stelle problemlos „stetig fortsetzen“ oder „stetig ergänzen“, wie man sagt. Aber die Funktion ist an der Stelle gar nichts.
Kein Mensch sagt Dir, was besser daran ist, die Funktion um den „Punkt“ f(1) := 1 zu erweitern, als um f(1):=2. Nur Dein Bedürfnis, sowieso lieber stetige Funktionen zu haben. 
Zum Grenzwert: Auch wenn die Grenzwerte nicht existieren,
solange sie von beiden Seiten auf dasselbe zustreben sind sie
auch stetig.
Grenzwerte sind nicht stetig. Das ist eine Eigenschaft von Abbildungen. 
Und beide Grenzwerte müssen auch noch auf den Funktionswert zustreben.
Tun sie das nicht, ist die Funktion auch nicht stetig („ohne Absetzen durchzeichenbar“)
Nimm die Funktion f: R -> R mit f(x):=0 für alle x ungleich 0 und f(0):=1. Rechtseitiger ist gleich dem linksseitigem Grenzwert. Die Funktion ist aber kaum „ohne Absetzen durchzeichenbar“, also nicht stetig in 0.
Goffe, das war nicht allzu verwirrend
Das hoffe ich auch.
Grüße,
Zwergenbrot
jede in einem punkt nicht stetige funktion ist unstetig.diese
funktion ist weder recht-, noch linksseitig stetig - somit
unstetig.
Nein. Wie ist denn Stetigkeit definiert? Doch nur für Punkte aus dem Definitionsbereich. Man kann von „stetig fortsetzbar“ oder „stetig ergänzbar“ reden, aber die Funktion ist an der Stelle 0 erstmal nicht stetig und auch nicht nicht stetig, sondern die Stelle 0 gibt es gar nicht.
Grüße,
Zwergenbrot
Hallo,
ist die fkt x|->1/x^2 unstetig in null oder kann man das
nicht sagen da fin null nicht definiert ist - ich meine der
links und rechtsseitige limes sind beide +unendlich
Um nochmal ne klare Antwort zu geben:
Die Funktion ist in erster Linie an der Stelle x=0 nicht definiert.
(Zumindest scheint das nicht der Fall zu sein).
Um derartige Unklarheiten zu vermeiden, gibt man eigentlich IMMER den Definitionsbereich und die Zielmenge mit an. Leider findet man das in der Schule meist nicht so wichtig, weil man fast nur Funktionen von R nach R betrachtet. Das ist aber ein Fehler.
In der etwas „ernsthafteren“ Mathematik sind Quelle und Ziel einer Abbildung beinahe wichtiger als die Funktionsvorschrift selbst.
Zur Frage der stetigen Ergänzbarkeit:
Der rechtsseitige sowie der linksseitige Grenzwert sind beide + unendlich. Die einzige Chance die Funktion stetig zu ergänzen (einen Punkt zum Graphen hinzuzufügen, sodass die Funktion damit stetig an dieser Stelle ist), besteht darin den Punkt (0, +unendlich) einzufügen.
In der Regel ist dies nicht möglich, da +unendlich kein Wert in IR ist.
Allerdings betrachtet der Mathematiker von Zeit zu Zeit eine Erweiterung von IR, bei der die Werte +unendlich und -unendlich mit bestimmten Rechengesetzen als „reelle Zahlen“ angesehen werden.
Unter diesen eher abstrakten und ungewöhnlichen Vorraussetzungen könnte die Funktion auch so erweitert werden, dass sie nicht mehr nur von IR{0} nach IR geht, sondern von IR nach IR* ( * bedeutet hier die besagte Erweiterung).
Beste Grüße,
Zwergenbrot
(der die Frage für relativ sinnvoll und durchaus nicht bloed hält)
jede in einem punkt nicht stetige funktion ist unstetig.diese
funktion ist weder recht-, noch linksseitig stetig - somit
unstetig.Nein. Wie ist denn Stetigkeit definiert? Doch nur für Punkte
aus dem Definitionsbereich. Man kann von „stetig fortsetzbar“
oder „stetig ergänzbar“ reden, aber die Funktion ist an der
Stelle 0 erstmal nicht stetig und auch nicht nicht stetig,
sondern die Stelle 0 gibt es gar nicht.
???natuerlich gibt es die stelle 0!!!
der wert an der stelle 0 ist jedoch nicht definiert.
definition unstetigkeit:
Unstetigkeit, in der Mathematik „Gegenteil“ von stetig. Eine Funktion ist unstetig in einem Punkt, wenn sie nicht stetig ist.
http://de.wikipedia.org/wiki/Unstetigkeit
weiter unten heisst es dann auch:
…3. Weder Rechtsseitig noch Linksseitig stetig (unstetig)
…
…Weiterhin kann der Fall auftreten, dass die Grenzwerte gar nicht existieren, wie im Fall der Funktion sin(1 / x) für x->0.
mfg
rene
Hallo,
???natuerlich gibt es die stelle 0!!!
In welcher Menge liegt die Null? In IR? Ja da liegt die Null drin. In IR{0} ? Nein, da gibt es die Null nicht.
der wert an der stelle 0 ist jedoch nicht definiert.
Genau da liegt eben der Knackpunkt. Leider wurde die Funktion nicht vollständig angegeben. Es ist grundsätzlich wichtig, welche Mengen die Quelle und das Ziel der Funktion ist.
Definition:
Eine Funktion F: X->Y ist ein Tripel von Mengen F=(X,Y,G), wobei gilt:
- G ist Teilmenge von X x Y (x = kartesisches Produkt).
- Für alle a aus X, existiert ein b aus Y, so dass (a,b) in G liegt.
- Wenn (a,b) in G liegt und (a,c) in G, so gilt b=c.
- G heißt Graph der Funktion.
Wir können also nur raten, dass die Quelle IR{0} ist. Sonst wäre es keine Funktion.
definition unstetigkeit:
Unstetigkeit, in der Mathematik „Gegenteil“ von stetig. Eine
Funktion ist unstetig in einem Punkt, wenn sie nicht stetig
ist.
Ja, das klingt nach einer sinnvollen Definition. Allerdings ist die Funktion über die wir diskutieren deshalb noch nicht unstetig.
Man sagt ja auch nicht: „Der Baum da drüben ist unstetig.“ oder „Dieses n-Eck ist aber unstetig.“
Stetigkeit ist eine Aussage über bestimmte Punkte des Definitionsbereichs einer Abbildung. Der Punkt 0 in unserem Beispiel ist aber gar nicht im Definitionsbereich enthalten.
Und ich wüsste nicht, dass irgendwo allgemein definiert wäre, wann eine Funktion in einem Punkt, der nicht im Def-Bereich liegt stetig ist und wann nicht.
Und da die Mathematik versucht grundsätzlich nur über Dinge zu reden, die auch definiert sind, weigere ich mich, die Stelle 0 als Unstetigkeitsstelle der besagten Abbildung zu sehen.
schöne Seite. Leider wird auch hier nur stillschweigend vorausgesetzt, dass man über Punkte im Definitionsbereich redet. Aber ansonsten wäre ja f(x) auch nicht existent. Daher machen die Definitionen dort nur sinn, wenn man im Def-Bereich existierende x betrachtet.
weiter unten heisst es dann auch:
…3. Weder Rechtsseitig noch Linksseitig stetig (unstetig)
Richtig. Und wieder dasselbe Argument. Wer sagt denn, dass die Funktion weder rechtsseitig noch linksseitig stetig ist?
…Weiterhin kann der Fall auftreten, dass die Grenzwerte gar
nicht existieren, wie im Fall der Funktion sin(1 / x) für
x->0.
Mal abgesehen davon, dass es immernoch um einen Wert geht, der nicht in der Quelle der Abbildung liegt…
Dass +unendlich nicht in der Zielmenge der Funktion liegt, können wir doch wieder nur raten, da das Ziel nicht angegeben ist.
Beste Grüße,
Zwergenbrot
PS:
Ich definiere einfach mal:
Eine Funktion f: X-> Y heißt an der Stelle x, mit x nicht Element von X stetig, genau dann, wenn x eine reelle Zahl ist.
Wer verbietet mir denn sowas?
wieso sollte ich die definitionsbereichsluecke 0 aus der funktion entnehmen?
damit waere sie ja im endeffekt sogar noch stetig. es handelt sich um EINE funktion, die an einer stelle keinen wert besitzt wie auch die wikipediafunktion. besitzt eine funktion an eier stelle keinen wert, ist sie an diesem punkt unstetig, egal, wo der grenzwert liegt, bei 5 oder 10 oder GEGEN unendlich.
die polstelle ist ebenso eine unstetigkeitsstelle.
http://mathe.vwv.at/odl/diff3/theorie.cgi?p=brp&l=1
(5. ueberschrift)
http://www.pc.chemie.tu-darmstadt.de/staff/hjb/Mathe…
(seite 14)
mfg
rene
wieso sollte ich die definitionsbereichsluecke 0 aus der
funktion entnehmen?
Weil die Funktion dort nicht definiert ist?
damit waere sie ja im endeffekt sogar noch stetig.
Genau! Das ist sie nämlich auch.
es handelt
sich um EINE funktion, die an einer stelle keinen wert besitzt
wie auch die wikipediafunktion.
Nein. Nie nicht.
Seit Derichlet, Weierstraß und Cantor ca. 1829 den Begriff der Funktion definiert haben und zwar so wie ich es bereits angegeben habe, hat eine Funktion an JEDEM Wert ihrer Quelle/Definitionsbereich einen Funktionswert.
Falls Du das nicht so haben willst, musst Du eine brauchbare Definition des Begriffes „Funktion“ liefern. Ich hab gesagt, was ich darunter verstehe. Was verstehst Du darunter?
besitzt eine funktion an eier
stelle keinen wert, ist sie an diesem punkt unstetig, egal, wo
der grenzwert liegt, bei 5 oder 10 oder GEGEN unendlich.
Okay, nehem wir die Vorzeichenfunktion: sign(x) ? Sagt die Dir was? (die Frage soll nicht provozieren, die Funktion ist nur wirklich nicht unbedingt jedem bekannt)
Diese Funktion ist an der Stelle 2+6i unstetig?
Oder die Fibonacci-Folge? Ist die bei 3,1415 unstetig?
die polstelle ist ebenso eine unstetigkeitsstelle.
Nun zugegeben: Die Erweiterungen der reellen Zahlen um die Werte +unendlich und -unendlich sind nicht unbedingt gebräuchlich.
Aber durchaus zulässig!
Und in den entsprechend erweiterten Mengen kann eine Funktion auch an einer Polstelle stetig sein. Warum denn nicht?
http://mathe.vwv.at/odl/diff3/theorie.cgi?p=brp&l=1
(5. ueberschrift)
Volkswirtschaftler? Aus Österreich?
Was dort unter der Überschrift 5 steht ist schlicht falsch. Sorry.
http://www.pc.chemie.tu-darmstadt.de/staff/hjb/Mathe…
(seite 14)
Mal abgesehen, dass die dort angegebene Definition von Stetigkeit nicht umsonst als „unmathematisch“ bezeichnet wird, steht da doch nichts, was im Widerspruch zu meinen Aussagen stände. Zumindest nicht auf Seite 14.
Dort spricht man nicht über den Begriff „Unstetigkeit“ sondern über „hebbare Unstetigkeit“, was mit Verlaub nicht dasselbe ist.
Vielleicht solltest Du mal in ein Fachbuch schauen, z.B. :
- Bronstein-Semendjajew - Taschenbuch der Mathematik
- Königsberger - Analysis I
- Harro Heuser - Lehrbuch der Analysis I
Am deutlichsten äußert sich meines Erachtens der Heuser, aber in allen drei Büchern steht nix Falsches.
Wir können das jetzt noch dreimal hin- und hergehen lassen, aber ich kann Dir jetzt schon sagen: Ich habe recht, sorry.
Lies doch nochmal den letzten Beitrag von mir, indem ich a) den Begriff der Funktion definiert habe und b) Eine Pseudodefinition für die Stetigkeit eine Funktion in Punkten außerhalb des Definitionsbereichs angegeben habe. Vielleicht verstehst Du meinen Standpunkt dann besser.
Ich glaube, dass ich verstehe, warum Du Deinen Standpunkt hast, aber ich glaube auch, dass es Dich weiterbringen wird, wenn Du einsiehst warum es sich um eine Ungenauigkeit und falsche Verwendung von Begriffen handelt.
Ich sag’s nochmal und ich kann es zur Not auch beweisen:
Die Funktion
f: IR{0} -> IR mit x |-> 1/(x^2) ist an jeder Stelle a aus IR{0} stetig. Folglich ist die Funktion stetig auf IR{0}.
Die (völlig andere) Funktion:
f:IR -> IR mit x |-> 1/(x^2) ist nicht wohldefiniert. Es handelt sich nicht um einen sinnvollen Ausdruck.
Die (nochmals andere) Funktion:
f:IR -> IR mit x |-> 1/(x^2) für alle x ungleich Null und 0 |-> 0
ist an der Stelle 0 nicht stetig.
Die (wieder andere) Funktion:
f:IR -> IR° mit x |-> 1/(x^2) für alle x ungleich Null und 0 |-> +unentlich
ist stetig auf ganz IR.
Bermerkung:
offensichtlich soll hier IR° eine Erweiterung von IR sein, die den Wert +unendlich enthält. siehe z.B. Königsberger Analysis I, Kap. 5.7, zugegeben man spricht hier im Grunde nur von uneigentlichen Grenzwerten, aber das ist eine reine Geschmacksfrage, da es für die Stetigkeit nicht auf die Körperstruktur von IR ankommt, sondern auf das Verhalten von IR als topologischer, metrischer oder normierter Raum.
Beste Grüße,
Zwergenbrot
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damit waere sie ja im endeffekt sogar noch stetig.
Genau! Das ist sie nämlich auch.
also in meinem buch: repetetorium der hoeheren mathemathik steht eine aufgabe:
laesst sich f(x)=1/x an der stelle 0 stetig ergaenzen?
antwort: nein, denn f ist in jedem intervall, dass 0 enthaelt, unbeschraenkt.
die polstelle ist ebenso eine unstetigkeitsstelle.
Nun zugegeben: Die Erweiterungen der reellen Zahlen um die
Werte +unendlich und -unendlich sind nicht unbedingt
gebräuchlich.
Aber durchaus zulässig!
Und in den entsprechend erweiterten Mengen kann eine Funktion
auch an einer Polstelle stetig sein. Warum denn nicht?
das liest sich, als wuerdest du dich rausreden.
naja…als ingenieursstudent(thueringen;maschinenbau!!!..wirtschaftler?werd mal nicht beleidigend, ja!!!) sieht man die dinge anders als als mathematiker:smile:
und wenn der durchschnittsgelehrte eine polstelle als unstetigkeitsstelle sieht, dann sehen die mathematiker ganz andere dimension darin bluehen:smile:
http://mathe.vwv.at/odl/diff3/theorie.cgi?p=brp&l=1
(5. ueberschrift)
Volkswirtschaftler? Aus Österreich?
Was dort unter der Überschrift 5 steht ist schlicht falsch.
Sorry.http://www.pc.chemie.tu-darmstadt.de/staff/hjb/Mathe…
(seite 14)
Mal abgesehen, dass die dort angegebene Definition von
Stetigkeit nicht umsonst als „unmathematisch“ bezeichnet wird,
steht da doch nichts, was im Widerspruch zu meinen Aussagen
stände. Zumindest nicht auf Seite 14.
Dort spricht man nicht über den Begriff „Unstetigkeit“ sondern
über „hebbare Unstetigkeit“, was mit Verlaub nicht dasselbe
ist.
unstetigkeit bleibt unstetigkeit!
aber wie gesagt…das sind wohl die feinen unterschiede von denen, die etwas anwenden und denen, die es machen:smile:also unendlich als wert zu sehen und vielleicht noch mit 3 zu multiplizieren…das kann nur ein mathematiker*gg*
Die (nochmals andere) Funktion:
f:IR -> IR mit x |-> 1/(x^2) für alle x ungleich Null
und 0 |-> 0
ist an der Stelle 0 nicht stetig.
ich dachte, darum ginge es.
da es allerdings mehrere moeglichkeiten fuer die fkt. gibt, kann man sich immer rausreden:smile:
aber danke fuer die aufklaerung, ich werds mir merken.
noch was…versteh nur noch bahnhof…
wenn ich auch drauf rumtrampeln muss…
http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/mess…
jetzt versteh ich auch, was hebbar heisst…jedoch ist bei unserem bsp. nix hebbar…oder etwa doch? wie denn?wo treffen sich dann die beiden???
naja…nun bist du einer der wenigen, die behaupten, polstellen seien keine unstetigkeitsstellen.
da du ein experte bist, werde ich als lumpiger ingenieur wohl die tatsache hinnehmen, dass sich die geister da streiten:smile:
das ist so wie mit dem klimawandel.
und ueberhaupt mit allem…wem soll man fglauben, wenn der eine das sagt und der andere das…mein gott…was tu ich hier…ich muss weg…am besten ans politikbrett.