Effektiver Sonnenlicht-Einstrahlungswinkel auf schräge Dachfläche

Wissenschaft Mathematik
#1

Moin,

gegeben sei eine Dachfläche, die um 32° geneigt ist (0° wäre waagerecht, 90° senkrecht) und von der Ausrichtung her nach Süden (mit einem Hauch Ost) zeigt, also 176° Kompasswinkel.

Nun will ich mit einem weiteren Winkelpaar (Elevation und azimutal) für das einfallende Sonnenlicht den effektiven Einstrahlungswinkel auf die Dachfläche errechnen, aber irgendwie stehe ich bei der Entwicklung einer Excelformel dafür auf dem Schlauch. Die letzten Mathestunden sind schon einige Jährchen her… Die Winkeldifferenzen einzeln in Cosinuszahlen umzusetzen und dann miteinander zu multiplizieren war jedenfalls schon mal nicht der richtige Ansatz.

Experten vor! Danke :slight_smile:
Gruß
Marius

#2

Hi,

in → diesem Koordinatensystem ergibt sich der effektive Einfallswinkel θ aus dem Skalarprodukt zwischen dem Vektor s zur Sonne und dem Normalenvektor n der Dachfläche.

Der „Sonnen“-Vektor s ergibt sich dabei aus Azimut und Elevation. Die Dachfläche ist gegen die x-y-Ebene um die y-Achse gedreht und gegen -x um den Winkel 30° geneigt. Der Normvektor n der Dachfläche liegt somit in der x-z-Ebene und ist gegen +x um 60° geneigt (und ggf. zusötzlich um 4° nach Ostem, also gegen die -y Achse).

Der Einfallswinkel folgt dann aus dem Skalarprodukt

cos θ = s⋅n / |s|⋅|n|

Gruß
Metapher
.

#3

ok, da bin ich draußen. Aber bitte denke Daran, dass dieser Winkel sich das Ganze Jahr über verändert.

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#4

Schon klar, dass die Sonne nicht am Himmel festgetackert ist! :wink:

#5

@Metapher

Danke, nur so richtig einleuchten will es mir noch nicht.

Du schreibst Skalarprodukt und dann aber eine Gleichung, wo drin steht: Skalarprodukt der beiden Vektoren geteilt durch Skalarprodukt aus den jeweiligen Beträgen der Vektoren? Das verstehe ich nicht. Da es hier nur um Richtungen geht, sollten Beträge, sprich Vektorlängen doch keine Rolle spielen, bzw. immer gleich lang sein?

#6

Hi,

was da steht, IST das Skalarprodukt, nur umgestellt:

cos θ = s ⋅ n / | s | ∗ | n |

s ⋅ n = | s | ∗ | n | ∗ cos θ

Die Multiplikation links ist nicht dieselbe wie die rechts. Deshalb hier deutlicher mit anderem Zeichen.

In der Komponenten-Schreibweise:
s = (s1,s2,s3)
n = (n1,n2,n3)

ist
s ⋅ n = s1 ∗ n1 + s2 ∗ n2 + s3 ∗ n3

und die Norm = Länge
|s| = √(s12 + s22 + s32)
|n| = √(n12 + n22 + n32)
wird so gesetzt, daß sie = 1 ist. Damit fällt der Nenner in der o.g. Formel weg.

→ Hier eine Beispielrechnung (unten für R3).

Jetzt gibt es natürlich das Problem: Für die Bestimmung der Vektoren stehen ja nur jeweils zwei Winkel in den jeweiligen Ebenen zur Verfügung. Wie man das nun ich die Komponentenform der Vektoren umrechnet, dazu bin ich ad hoc überfragt :frowning: Viellecht weiß hier jemand, wie das geht.

Jedenfalls ist der o.g. definierte Winkel θ der von dir gesuchte. In die Formel bräuchtest du nur jeweiligen Azimut und Elevation des Sonnenstandes einzusetzen.

#7

Der Winkel ändert sich vor allem den ganzen Tag über. Das ist es doch mutmaßlich, was der UP sucht.

#8

Passt schon! Umrechnung der auf Länge = 1 gesetzten Vektoren in x-y-z-Form und Skalar-Multiplikation bringt das gewünschte Ergebnis.

Ich habe mir für jede volle Stunde einmal den Sonnenstand bei sonnenverlauf.de herausgeschrieben und konnte so grob abgleichen, ob die Solarthermieanlage einen ihrer Fläche und Ausrichtung entsprechenden Ertrag abwirft. Die aktuell wolkenlosen Tage eignen sich dafür ganz gut.

Gruß
Marius

#9

Prima. Ich hab die Vektoren auch mal gebastelt. Und zwar in dem oben bezeichneten Koordinatensystem:

α = Azimut
ε = Elevation
||s|| = 1
||n|| = 1

s = (cos ε cos α | cos ε sin α | sin ε)
n = (cos 60 | 0 | sin 60)

Hast das auch so?

Gruß

#10

s = (cos ε cos α | cos ε sin α | sin ε)
n = (cos 60 | 0 | sin 60)

Hast das auch so?

Ich glaube, mein Koordinatensystem ist anders gepolt als deines, weswegen sich das jetzt nicht direkt vergleichen lässt. Meine x-Achse zeigt nach Süden, die y-Achse nach Osten und die z-Achse gen Zenit.

Für den Sonnenvektor kommt dann (cos α sin ε | sin α sin ε | cos ε) zustande,
für den Vektor, der rechtwinklig auf der Dachfläche steht (sin 32° cos 4° | sin 4° sin 32° | cos 32°).
Das gilt für meine gegebenen Werte des Daches mit der Neigung von 32° gen 176° fast-Süd.