Hallo,
ich habe massive Probleme folgender Aufgabe, die ich bis morgen gelöst haben muss:
Hossa 
Also du hast Folgendes gegeben:
\delta_n(x)=\frac{1}{\pi},\frac{1/n}{x^2+(1/n)^2}=\frac{1}{\pi},\frac{n}{1+n^2x^2}\quad;\quad\delta(x)=\lim_{n\to\infty}\delta_n(x)
Zum Beweis von i)
Die Fläche unter den Funktionen delta_n(x) ist immer gleich 1:
\int\limits_{-\infty}^{\infty}\delta_n(x),dx=1
Siehe dazu: http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+from+…
Der zweite Mittelwertsatz der Integralrechnung lautet: Falls f(x) stetig ist in [-a,b], g(x) integrierbar in [-a,b] und g(x) in [-a,b] ihr Vorzeichen nicht wechselt, existiert ein geeignetes xi im Inneren des Intervalls [-a,b], so dass gilt:
\int\limits_{-a}^bf(x)g(x),dx=f(\xi)\int\limits_{-a}^bg(x),dx
Hier habe ich extra [-a,b] als Intervall genommen, weil das im Folgenden auch die Integrationsgrenzen sind. Da nach Aufgabenstellung a,b>0 sind, muss die Null im Intervall [-a,b] liegen.
Nach dem zweiten Mittelwertsatz gibt es für jede Funktion delta_n(x) ein xi_n, so dass gilt:
\int\limits_{-a}^b\delta_n(x)g(x),dx=g(\xi_n)\int\limits_{-a}^b\delta_n(x),dx
[Bemerkung : Im Folgenden beschreibe ich in Worten, was ich denke. Ich bin kein Mathematiker, sondern Physiker. Vielleicht übernimmst du es so bildhaft oder formulierst es „irgendwie“ mathematischer…]
Für wachsendes n wird delta_n(x) immer schärfer und spitzer um x=0 herum. Der Bereich außerhalb [-a,b] wird vernachlässigbar. Der Wert des Integrals von -a bis b nähert sich immer stärker dem Ergebnis des Integrals von -unendlich bis +unendlich an.
Mit wachsendem n muss xi_n im effektiven Integrationsbereich liegen, der jedoch wegen der wachsenden Schärfe von delta_n(x) immer weiter zusammenschrumpft, bis [-a,b] im Grenzübergang auf 0 zusammenschrumpft. Daher gilt:
\lim_{n\to\infty}\int\limits_{-a}^b\delta_n(x)g(x),dx=\lim_{n\to\infty}\left(g(\xi_n)\int\limits_{-a}^b\delta_n(x),dx\right)\longrightarrow g(0)\cdot 1
Da hier der zweite Mittelwertsatz verwendet wurde, musste g(x) die entsprechenden Anforderungen erfüllen. Der Beweis gilt also leider nicht für beliebige Funktionen g(x), wie in der Aufgabe ursprünglich gefordert. Vielleicht hat ja jemand eine Idee, wie man das entsprechend hinkriegen könnte.
Zum Beweis von ii)
Als erstes machst du dir klar, dass die delta-Funktion für alle x ungleich 0 den Wert 0 hat:
x\not=0\quad\Longrightarrow\quad\delta(x)=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{\pi},\frac{1}{\frac{1}{n}+nx^2}\right)=0
Daher gilt für eine Funktion g(x), die an der Stelle x0 definiert ist:
g(x),\delta(x-x_0)=g(x_0),\delta(x-x_0)
Wie oben gesehen, ist das Integral von -unendlich bis +unendlich für alle delta_n(x) gleich 1, insbesondere gilt das dann auch für die delta-Funktion selbst:
\int\limits_{-\infty}^{\infty}\delta(x),dx=1
Daraus folgt sofort ii):
\int\limits_{-\infty}^{\infty}dx,\delta(x-x_0)g(x)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}dx,\delta(x-x_0)g(x_0)=g(x_0)\int\limits_{-\infty}^{\infty}dx,\delta(x-x_0)=g(x_0)\cdot 1
Hier wird nur gefordert, dass g(x) an der Stelle x0, wo das Argument der delta-Funktion verschwindet, definiert sein muss.
Zum Beweis von iii)
Puuh, noch mehr Tipparbeit… Obwohl, das ist einfach, wenn du das hier verwendest:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+from+…
Das kriegst du bestimmt alleine hin, wenn nicht melde dich nochmal…
Viele Grüße
Hasenfuß
WOW! Ich weiß gar nicht, wie ich meinen Dank ausdrücken soll. Auf jeden Fall wird mir durch die nicht mathematischen Ausführungen Deines Denken vieles klar! Ich bin übrigens auch Physiker, bzw. angehender, um so erstaunlicher, dass Du das so einfach hinbekommst. Ich bin grad noch an anderen Physik- Aufgaben und es wäre toll, wenn Du mir evtl. (iii) auch noch ausführend könntest, denn ich bin gerade nicht wirklich auf dem mathematischen Niveau.