wir verzweifeln grade.
folgende formel macht uns kopfzerbrechen.
j = sqrt(-1)
e^(j*2*pi*(1/4)) = (e^(j*2*pi))^(1/4)
mit e^(j*2*pi) = 1 kommen wir auf
1^(1/4) und damit auf 1.
im gegensatz dazu folgende auflösung:
e^(j*2*pi*(1/4)) = e^(j*pi/2) = j
fraglich nun: was soll das? wo ist hier der fehler?
hi,
wir verzweifeln grade.
folgende formel macht uns kopfzerbrechen.
j = sqrt(-1)
warum so kompliziert? schneller zum verzweifeln kommt ihr folgendermaßen:
j*j = sqrt(-1)*sqrt(-1) = sqrt((-1)*(-1)) = sqrt(1) = 1
also: j = 1 (oder auch: j = -1, wenn ihr partout wollt.)
das problem:
m.
Hallo michael,
- die schreibweise j = sqrt(-1) ist anschaulich nett und
leicht merkbar, aber eigentlich nicht korrekt, denn „wurzeln“
sind eigentlich reelle dinge.
Wurzeln in Anführungszeichen und „eigentlich reelle Dinge“? Reichlich schwammig, Meister… 
Der Kern des Problems liegt darin, dass –1 zwei Wurzeln hat, nämlich i und –i. Dies sind die beiden Lösungen der Gleichung x2 = –1. Das heißt: Wer immer einer Lösung von x2 = –1 irgendein Symbol „S“ gibt, muss sofort –S zur Lösungsmenge hinzufügen, damit sie komplett ist.
Schwierigkeiten gibt es solange nicht, wie man sich darüber im Klaren ist, was die Gleichung
i = √(–1)
bedeutet, und was nicht. „i ist definiert als die Wurzel aus –1“? Nein, genau das eben nicht! Die Gleichung i = √(–1) definiert nicht i, sondern √(–1), genauer: sie legt fest, welche der beiden Wurzeln von –1 gemeint ist (nämlich die „minus-vornedran-lose“ Lösung i, statt –i). Es wäre aber genauso zulässig, √(–1) =: –i zu vereinbaren, solange es dann für alle Wurzeln Gültigkeit hat. Keine Rechnung würde damit zu einem Widerspruch führen, weil die „√(–1) =: i“-Mathematik und die „√(–1) =: –i“-Mathematik isomorph zueinander sind.
Gruß
Martin
hi martin,
- die schreibweise j = sqrt(-1) ist anschaulich nett und
leicht merkbar, aber eigentlich nicht korrekt, denn „wurzeln“
sind eigentlich reelle dinge.Wurzeln in Anführungszeichen und „eigentlich reelle Dinge“?
Reichlich schwammig, Meister…
gut erkannt. das geht deutlich genauer, und du machst das ja sowieso schon.
vielen dank für die anrede; sie greift zu hoch, meine ich
„wurzeln“ schreiben heißt auch daran denken, mit diesen wurzeln zu rechnen, wie man mit wurzeln zu rechnen gewohnt ist. deswegen die anführungszeichen und das „eigentlich reell“, denn nicht alles, was man von reellem wurzelrechnen gewöhnt ist, funktioniert für komplexes.
[…]
„i ist definiert als die Wurzel aus
–1“? Nein, genau das eben nicht!
exakt.
Die
Gleichung i = √(–1) definiert nicht i, sondern
√(–1), genauer: sie legt fest, welche der beiden
Wurzeln von –1 gemeint ist (nämlich die
„minus-vornedran-lose“ Lösung i, statt –i).
ist auch nicht genau.
in wirklichkeit führt man ein objekt i (oder im ursprungsposting j) ein, dessen definierende eigenschaft ist, dass i^2 = -1 (und dass es sonst den wesentlichen rechenregeln für die grundrechenarten gehorcht). schon die wurzelschreibweise ist hier eigentlich falsch, mindestens extrem problematisch, weil sie falsches nahelegt.
Es wäre
aber genauso zulässig, √(–1) =: –i zu
vereinbaren, solange es dann für alle Wurzeln Gültigkeit hat.
Keine Rechnung würde damit zu einem Widerspruch führen, weil
die „√(–1) =: i“-Mathematik und die
„√(–1) =: –i“-Mathematik isomorph
zueinander sind.
man kommt dann schnell drauf, dass (wie immer man dieses i sich vorstellt) auch -i die gleiche „definierende“ eigenschaft besitzt. dass es also 2 dinge mit z^2 = -1 geben muss, wenn es denn eines gibt.
hth
m.
Grüß Dich, michael,
in wirklichkeit führt man ein objekt i (oder im
ursprungsposting j) ein, dessen definierende eigenschaft ist,
dass i^2 = -1 (und dass es sonst den wesentlichen rechenregeln
für die grundrechenarten gehorcht).
exaktissimo!
schon die wurzelschreibweise ist hier eigentlich falsch, mindestens
extrem problematisch, weil sie falsches nahelegt.
Ja, wenn überhaupt, dann ist sie nur unter größter Vorsicht zu genießen 
Bin mit allem, was Du sagst, einverstanden.
So long
Martin