Eigenwerte einer 4x4 Matrix

Wissenschaft Mathematik
1

Hallo zusammen!!

Ich löse gerade eine Aufgabe und habe ein kleines Problem.

Die Aufgabe lautet folgendermaßen:

Man soll die Eigenwerte der Matrix A bestimmen:

1-x, 0, 1, 0
-3, -1-x, 3, 0
-1, 0, 3-x, 0
-3, -3, 3, 2-x

Ich benutze nun den „Laplace Entwicklungssatz“ (nach 1.Zeile):

(1-x)* det
|-1-x, 3, 0 |
| 0, 3-x, 0 |
| -3, 3, 2-x|

1*det
|-3, -1-x, 0 |
|-1, 0, 0 |
|-3, -3, 2-x|

Und dann bekomme ich, wenn ich die erste Determinante berechne,folgende Lösung:

(-1-x)(3-x)(2-x)

Diese muss dann aber noch mit (1-x) multipliziert werden,oder?

Und bei der zweiten Determinante kommt

-(2-x)(-1)(-1-x) heraus.

Es müsste bei dieser Aufgabe jedoch nur die Eigenwerte x1,2,3=2 und x4= -1 herauskommen. Ich habe dann aber auch 2 andere Eigenwerte,nämlich (3,1) heraus.

Kann mir jemand bitte sagen,was ich falsch mache?
Ich wäre für jede Hilfe sehr dankbar.

Gruß,
selinchen20

2

Hallo zusammen!!

Hi selinchen !

1-x, 0, 1, 0
-3, -1-x, 3, 0
-1, 0, 3-x, 0
-3, -3, 3, 2-x

Ich benutze nun den „Laplace Entwicklungssatz“ (nach 1.Zeile):

(1-x)* det
|-1-x, 3, 0 |
| 0, 3-x, 0 |
| -3, 3, 2-x|

1*det
|-3, -1-x, 0 |
|-1, 0, 0 |
|-3, -3, 2-x|

Richtig.

Und dann bekomme ich, wenn ich die erste Determinante
berechne,folgende Lösung:

(-1-x)(3-x)(2-x)

Diese muss dann aber noch mit (1-x) multipliziert werden,oder?

Auch richtig.

Und bei der zweiten Determinante kommt

-(2-x)(-1)(-1-x) heraus.

Ebenfalls richtig

Es müsste bei dieser Aufgabe jedoch nur die Eigenwerte
x1,2,3=2 und x4= -1 herauskommen. Ich habe dann aber auch 2
andere Eigenwerte,nämlich (3,1) heraus.

Du hast die beiden Determinanten ja auch noch nicht addiert. Das musst du noch machen. Dann kannst du zwei Linearfaktoren ausklammern (jeder davon liefert einen Eigenwert), und es entsteht eine binomische Formel als quadratischer Term (das gibt nochmal zwei Eigenwerte). Probier mal ob dir dieser Hinweis schon reicht.
Viel Erfolg !

hendrik

3

Hallo Selinchen,

zusätzlich zu dem völlig korrekten bereits Gesagten möchte ich Dich nur darauf hinweisen, dass Du den Entwicklungssatz ja für jede beliebige Zeile oder Spalte anwenden kannst und dass Du Dir dafür natürlich eine Zeile bzw. Spalte mit möglichst vielen Nullen aussuchst.
Bei Deiner Matrix besitzt die 4. Spalte nur einen einzigen Eintrag, der von Null verschieden ist. Jene Spalte wäre also der ideale Kandidat für die Entwicklung gewesen.

(Natürlich ist es nicht schlecht, auch mal komplizierter zu üben. Kannst ja dann das Ergebnis des schwierigen Weges mit dem des leichten Weges überprüfen.)

Liebe Grüße
Immo