Hallo!
Ich habe folgendes Problem:
A sei eine beliebige nXn-Matrix. Die Matrix habe nach der algebraischen Zählung n relle Eigenwerte. k (für k
Hallo,
ich glaube, Du hast gar kein Problem. Die Viefachheit k des Eigenwertes p ist gerade die Dimension des Kerns von (A-p*E). Die Eigenvektoren sind die Basis des Kerns. Eine Basis muss aber immer zwei Voraussetzungen Erfüllen:
- ein Erzeugendensystem sein
- linear unabhängig sein.
Mit anderen Worten: Sind die k Eigenvektoren zum Eigenwert p nicht linear unabhängig, so ist die Vielfachheit des Eigenwertes p per Definition nicht k.
Davon nahezu unabhängig ist die Frage, ob die Eigenvektoren senkrecht zueinander stehen. Ist der Endormophismus normal, so tun sie dies. Ist er es nicht, so können sie dies tun. Tun sie es nicht, so ist der Endormophismus nicht normal.
Ich hoffe, dass das so klar verständlich ist.
Gruß
Ted
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nachhak…
Hallo Ted,
Davon nahezu unabhängig ist die Frage, ob die Eigenvektoren
senkrecht zueinander stehen. Ist der Endormophismus normal, so
tun sie dies. Ist er es nicht, so können sie dies tun. Tun sie
es nicht, so ist der Endormophismus nicht normal.
Kommen die Eigenvektoren schon gleich orthogonal heraus, sobald A normal ist??
Ich würde erwarten, daß man die Burschen noch nachträglich orthogonalisieren
muß (à la Hilbert-Schmidt etwa…)
Aber überhaupt: Kann A normal sein, ohne daß es ein Skalarprodukt gibt (und
dann sowieso keine Orthogonalität) ?
Ich dachte: ja. Stürzen und komplex Konjugieren kann ich ja auch ohne 
Gruß
Stefan
Hallo
Nur wenn A eine symmetrische Matrix ist lässt sie sich orthogonal diagonalisieren, d.h. es gibt eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren.
Man unterscheidet unter algebraischer und geometrischer Vielfachheit eines Eigenwerts.
e nennt man die algebraische Vielfachheit eines Eigenwertes p, falls p eine
e-fache Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist.
d nennt man die geometrische Vielfachheit eines Eigenwertes p. Sie ist gleich der Dimension des Eigenraumes, also gleich der Anzahl linear unabhängiger Eigenvektoren die man finden kann.
Es gilt e>=d. Bei Gleichheit ist die Matrix diagonalisierbar, dabei müssen die Eigenvektoren nicht orthogonal sein.
Im Fall e>d gibt es keine Basis aus Eigenvektoren.
Es gibt aber eine Basis aus Hauptvektoren (man sagt auch verallgemeinerte Eigenvektoren).
Sie berechnet man folgendermassen.
(A-p*E)*x=0 (Eigenvektor)
(A-p*E)*y=x
(A-p*E)*z=y usw.
Schau dazu einfach mal nach dem Stichwort Jordan-Normalform nach.
Gruss
Michi