… gibt es den streng gesehen?
Hallo Mathematiker!
Eine Seite würde dann Wurzel aus 0,5 in Meter gemessen lang sein, aber so eine Länge kann nicht eindeutig festgelegt werden. Anders wäre es bei einem Viertelquadratmeter, eindeutige Seitenlänge 0,5 Meter.
Grüße
Franz
PS: Jetzt weiß ich nicht, ob ich einen Denkfehler gemacht habe.
… gibt es den streng gesehen?
Klar doch: 0,5m mal 1,0m ist exakt 1/2 Quadratmeter.
SCNR 
Eine Seite würde dann Wurzel aus 0,5 in Meter gemessen lang
sqrt(1/2) = 1/2 sqrt(2)
sein, aber so eine Länge kann nicht eindeutig festgelegt
Doch, das läßt sich ohne Lineal konstruieren, vorausgesetzt, Du hast einen Stab, der exakt 1m lang ist:
Du baust Dir einen Quadratmeter mit 1m Kantenlänge zusammen und zeichnest Dir die Diagonale. Diese halbierst Du mit einem Zirkel, trägst diese halbe Diagonale ab - voila, da ist Deine Kantenlänge für 1/2 Quadratmeter.
Einzig aufschreiben läßt sich die exakte Länge der Kanten vom Quadrat mit 1/2 Quadratmeter Flächeninhalt nicht.
Gruß,
Ingo
… gibt es den streng gesehen?
Klar doch: 0,5m mal 1,0m ist exakt 1/2 Quadratmeter.
SCNR
Kantenlänge für 1/2 Quadratmeter.
Einzig aufschreiben läßt sich die exakte Länge der Kanten vom
Quadrat mit 1/2 Quadratmeter Flächeninhalt nicht.
Hallo Ingo,
das ist es eben, dass die genaue Länge nicht eindeutig fest steht.
Grüße
Franz
hi,
natürlich steht sie fest. sie lässt sich - wie ingo ausgeführt hat - auch genau konstruieren.
nur als dezimalzahl exakt hinschreiben lässt sie sich nicht. aber warum soll das ein argument gegen die existenz der zahl sein?
oder aber allgemeiner:
wir bewegen uns hier - mit „wurzel(2)“ u.ä. - im bereich der „irrationalen zahlen“. die heißen so, weil sie v.a. von den alten griechen (aus denselben gründen wie bei dir!) nicht als „vernünftige“ (richtige) zahlen anerkannt werden konnten. die alten griechen glaubten, dass alle zahlen „kommensurabel“ sind - das heißt, dass es zu 2 zahlen immer vielfache gibt, die genau gleich sind. in moderne terminologie übersetzt: alle zahlen sind als brüche darstellbar, d.h. als endliche oder periodische dezimalzahlen.
wenn wir von den bruchzahlen = rationalen zahlen zu den reellen zahlen (rationale und irrationale) übergehen, gehen wir zum kontinuum über. wir glauben dann daran, dass es so etwas wie punkte auf einer durchgezogenen linie gibt. diese punkte sind nicht nur als rationale zahlen darstellbar - s. ausführungen von ingo.
das kontinuum ist eine geläufige menschliche vorstellung. viele mathemtische theorien - z.b. die differentialrechnung - setzen kontinuum voraus. das gesamte mittelalter sah die gesamte welt als kontinuierlich an: „natura non facit saltus“, hieß es. ironie der mathematik-geschichte ist es, dass sich die ideen von kommensurabilität und kontinuierlichkeit widersprechen. erkannt hat man das erst später.
die heutige physik - speziell die quantenphysik - kann man auch als abkehr von kontinuierlichkeit verstehen. das weltall ist plötzlich nicht mehr durch kontinua beschreibbar: nicht masse, nicht energie, nicht raum, nicht zeit. in diesem licht könnte deine argumentation wieder schritt fassen. es gibt dann realiter nur endlich viele zahlen, und es gibt dann kein exaktes „wurzel aus 2“.
ich hab keine probleme damit, beides nebeneinander zu denken. für viele sachverhalte ist kontinuum ein geeignetes modell; anderes kann man auch „diskret“ sehr gut verstehen. im einen fall gibt es wurzel aus 2, obwohl es keinen endlichen oder periodischen dezimalbruch dazu gibt; im anderen fall ist wurzel aus 2 eine chimäre, die nicht wirklich existiert.
so, ich hoffe, das wird als noch zum thema gehörig akzeptiert.
m.
Hallo Franz
Zuerst müsste wohl geklärt werden, was es heisst, dass eine Zahl eindeutig feststeht, bzw. was Du darunter verstehst. Sonst kann man hier noch lange daran herumdiskutieren.
Rein mathematisch gesehen existiert jede relle Zahl. Dabei ist es völlig egal, ob die Zahl als Bruch, Dezimalbruch,… dargestellt werden kann. Zu den reellen Zahlen gehört dann insbesondere sqrt(1/2), das sich dadurch auszeichnet, dass deren Quadrat 1/2 ist. Deren Existenz ist durch das Axiomensystem der reellen Zahlen garantiert. Ähnlich verhält es sich mit Pi.
Vielleicht meinst Du auch konstruierbar. Aber wie schon gezeigt worden ist, ist sqrt(1/2) konstruierbar mit Zirkel und Lineal. Dieses Thema hat die Mathematiker schon länger interessiert. Man kann übrigens zeigen, dass z.B. Pi nicht mit Zirkel und Lineal konstruierbar, d.h. wenn ich Dir ein Strecke der Länge 1 gebe, wird es Dir (und auch niemand anderem möglich sein), mit Zirkel und Lineal eine Strecke der Länge Pi zu konstruieren. Und trotzdem scheint Pi zu existieren bzw. eindeutig festzustehen (nicht nur im Sinn der ersten Definition), denn ein Kreis hat den Umfang 2*Pi. Es ist nur nicht möglich, diesen Umfang auf eine Strecke abzuwickeln.
Man kann, wie die gewisse (antike) Griechen sich auch auf den Standpunkt stellen, dass nur rationale Zahlen eindeutig feststehen. Man bekommt damit mit der (euklidischen) Geometrie in Konflikt, weil ja gerade die Länge der Diagonale eines Quadrates mit Seitenlänge 1 (=sqrt(2)) nicht feststeht.
Je nachdem, wie Du Dich also entscheidest, was es für Dich bedeutet, dass eine Zahl eindeutig feststeht, wirst Du nun Dir die Antwort selber geben können.
Gruss Urs
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Hi!
Ich versteh gar nicht genau, wo das Problem ist? Ein Quadratmeter hat doch ned unbedingt was mit dem Quadrat im geometrischen Sinne zu tun! Quadratisch ist ja nur zweite Ordnung, also 2 Dimensionen. Aber das ist bei einem Rechteck genauso. Und da hast du 1m * 0.5m = 0.5m²
Da sind die Seitenlängen sogar rational! Wo ist das genaue Problem??
Gruß
Christina
(P.S.: Wenn es ein Quadrat mit dem Flächeninhalt 0.5m² sein muss, dann ist die Länge der Seiten ja nichtmal transzendent oder so. 1/Wurzel(2) ist ja algebraisch… Bin da n bisschen ratlos was daran so schlimm sein soll…)
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Hallo Franz,
mal etwas anders vom Mathematikstümper:
1 qm = 100 cm x 100 cm = 10.000 qcm
also 1/2 qm = 5.000 qcm
Kantenlänge = Wurzel aus 5.000 qcm
= 70,710678118654752440084436210485 cm = genau genug
Gruß Manfred
Hallo,
ich nehme mal an, Du meinst eine quadratische Fläche von 0,5 Quadratmeter. Die Seitenlänge müsste dann 1 m / Wurzel(2) sein. Es handelt sich zwar zahlenmäßig um eine irrationale Zahl als Faktor für die Längeneinheit, aber in der zahlenlosen Geometrie lässt sich das eindeutig kontruieren. Die Festlegung kann in beiden Wegen erfolgen (konstruktiv und zahlenmäßig).
Gruß
Dieter
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Kantenlänge = Wurzel aus 5.000 qcm
= 70,710678118654752440084436210485 cm = genau genug
Gruß Manfred
Es ginge aber auch genauer, ist also immer noch ungenau.
Grüße
Franz
Hallo,
Dein Problem beruht wahrscheinlich darauf, daß wir „natürliche“ Zahlen verwenden (mit der Eins als Grundmenge). Mit dieser Zahlenbasis lassen sich solche Dinger wie Wurzel(2) nicht exakt darstellen.
Mit gleichem Recht kann man aber auch eine beliebige andere Basis nehmen, so zB. Wurzel(2) und alle Mengen in vielfachen von Wurzel(2) ausdrücken. Klar hätten wir dann Probleme ein Glas Bier zu bestellen, dafür könnten wir die Seitenlänge deines Quadrates exakt angeben.
Ich hoffe mal, daß das jetzt kein mathematischer Blödsinn war. Ich jedenfalls denke mir das so.
PS: Jetzt weiß ich nicht, ob ich einen Denkfehler gemacht habe.
Siehste, ich auch nicht.
Beste Grüße jedenfalls,
Jochen
[oT:] Basis
Hallo,
man kann mit einer geschickt gewählten Basis auch z.B. Pi oder E als rationale Zahlen darstellen - allerdings mit „nicht festen“ Basen, wenn man also statt 10, 10, 10,… z.B. die Basis 1, 3, 5, 7,… wählt.
Wer sich mehr dafür interessiert kann mal nach Tröpfelalgorithmen suchen, ich selbst bin grade zu faul dafür.
Grüße,
Moritz
Hallo,
jetzt fällt mir etwas Geniales ein. Man könnte doch alle Kohlenstoffatome zählen, wenn mit einem Bleistift gezeichnet wird. Dann kommt man zu einem sehr genauen Ergebnis.
Ich hoffe mal, daß das jetzt kein mathematischer Blödsinn war.
Ich jedenfalls denke mir das so.PS: Jetzt weiß ich nicht, ob ich einen Denkfehler gemacht habe.
Siehste, ich auch nicht.
Beste Grüße jedenfalls,
Jochen
Moin,
Du hattest ein Problem mit der Eindeutigkeit der Darstellung (von Wurzel(2)). Auch die Zahl der Atome entlang der Kantenlänge deines Quadrates ist nicht eindeutig.
War das ernstgemeint?
Grüße,
Jochen
Moing Jochen,
bei nano auf 3sat war ein Nanowissenschaftler zu sehen, der einzelne Atome zählen konnte. Warum soll das also ein Problem sein?
Have a nice weekend!
FJ
Du hattest ein Problem mit der Eindeutigkeit der Darstellung
(von Wurzel(2)). Auch die Zahl der Atome entlang der
Kantenlänge deines Quadrates ist nicht eindeutig.War das ernstgemeint?
Grüße,
Jochen
Hallo,
bei nano auf 3sat war ein Nanowissenschaftler zu sehen, der
einzelne Atome zählen konnte. Warum soll das also ein Problem
sein?
Die Anzahl der Atome mag eindeutig sein, aber Wurzel(2) Meter ist kein ganzes Vielfaches des Durchmessers eines Atoms. Es bleibt dabei, daß du die exakte Länge nur angeben kannst als ein unendlich langer Dezimalbruch, egal, ob du als Basiseinheit den Meter oder den Atomdurchmesser nimmst. Einzige Ausnahme: Das Atom hat einen Durchmesser von _exakt_ einem ganzzahligen Vielfachen von Wurzel(2) Metern. Und damit wären wir wieder am Anfang…
Grüße,
Jochen
PS: Der „Duchmesser“ von Atomen ist nicht streng definiert. Genauer wäre es gewesen, ich hätte bom (mittleren!) Bindungsabstand oder Gitterabstand gesprochen (ist wieder temperaturabhängig). Das aber nur so nebenbei.