Ein Billardtisch mit den Abmessungen, lange Seite 13
Einheiten, kurze Seite 8 Einheiten ist in den Eckpunkten
bezeichnet: links unten „A“ rechts unten „B“ usw im
Gegenuhrzeigersinn. Die erste lange Bande heißt somit A-B und
die nächste kurze B-C. Der Anstoßball „P“ liegt von A gesehen
2 Einh nach rechts und 3 Einh nach oben. Der zu treffende
Ball „Q“ liegt von C gesehen 2 Einh nach unten und 4 Einh nach
links.
Die Aufgabe:
a) Der Ball P soll zunächst Bande A-B, dann B-C und dann Q
treffen.
gibt es auch einen rechnerischen Ansatz?
Hallo Harald,
das rechnerisch zu bewältigen ist nicht schwer.
Den Reflexionspunkt von P an der Bande AB bezeichne ich mit (x1, y1) und den Reflexionspunkt an der Bande BC mit (x2, y2). Dabei sind nur x1 und y2 gesucht, denn wie groß y1 und x2 sind, wissen wir bereits: y1 = 0 und x2 = 13.
Der Lösungsansatz ist, daß folgende drei Dreiecke ähnlich zueinander sein müssen, und zwar aus dem Grund, weil P an (x1, y1) und (x2, y2) so reflektiert wird, daß jeweils „Einfallwinkel = Ausfallwinkel“ gilt:
Dreieck (2, 0) - (x1, y1) - P
Dreieck P - B - (x2, y2)
Dreieck Q - (x1, y2) - (13, 6)
Diese Ähnlichkeit erlaubt uns, Gleichungen für die Verhältnisse der Seitenlängen der Dreiecke aufzustellen. Es gibt etliche Möglichkeiten, welche Seitenlänge man zu welcher anderen in Beziehung setzt; ich habe mich für diese entschieden:
x1 - 2 13 - x1 13 - 9 13 - x1
------ = ------- und ------ = -------
3 y2 6 - y2 y2
Wenn Du diese beiden Gleichungen anhand der Skizze (mit dem eingezeichneten ungefähren Weg der Kugel P) nachvollziehst, kannst Du Dich leicht von ihrer Richtigkeit überzeugen.
Wir sehen, daß wir zwei Gleichungen für zwei Unbekannte (x1 und y2) vorliegen haben und können so der Lösung hoffnungsvoll entgegensehen. Der Rest der Augabe besteht nur noch aus Rechnerei.
Die Gleichungen sind äquivalent zu
(x1 - 2) y2 = (13 - x1) 3 und 4 y2 = (13 - x1) (6 - y2)
Wir lösen die erste auf nach y2:
13 - x1
y2 = 3 -------
x1 - 2
und setzen dies in die zweite Gleichung ein:
13 - x1 13 - x1
4 \* 3 ------- = (13 - x1) (6 - 3 ------- )
x1 - 2 x1 - 2
Auf beiden Seiten der Gleichung steht nun „13 - x1“ im Zähler. Bevor wir das wegkürzen müssen wir checken, daß dieser Ausdruck nicht gleich Null ist. Gleich Null ist er genau dann, wenn x1 = 13 ist. Das würde bedeuten, daß P exakt im Eckpunkt B des Billardtischs auftrifft. Dieser Fall ist mathematisch nicht definiert (da P als punktförmig idealisiert ist), in dem Sinne, daß sich für einen Aufprall in B kein eindeutiger Reflexionswinkel mehr angeben läßt. Der Lösung „x1 = 13“ kommt somit keine Bedeutung zu, und wir können beruhigt durch 13 - x1 dividieren.
4 \* 3 / (x1 - 2) = 6 - 3 (13 - x1)/(x1 - 2)
(noch ein paar Umformungen)
x1 = 7
Und daraus folgt (mit einer der Ausgangsgleichungen)
y2 = 18/5 = 3.6
Fertig.
Mit freundlichem Gruß
Martin
