Hi,
wir haben noch ein Problem, auch hier wird eine Funktion gesucht.
In einer Ebene liegen 3 Kreise, die sich weder berühren, noch schneiden. Nun soll ein Kreis konstruiert werden, der alle 3 Kreise tangential berührt. Gegeben sind die Mittelpunkte und die zugehörigen Radien, und von dem neuen Kreis müssen auch diese Werte erstellt werden.
Die Funktion soll aus den Werten der 3 Kreise zum Schluß den neuen Kreis bestimmen.
Vielen Dank im Voraus
Winni
Das ist ein schoenes altes Geometrie-
Problem. Welcher Lehrer bringt das
heute noch im Unterricht? Denn
es ist ziemlich anspruchsvoll,
also erstens mal, es gibt nicht nur
einen Beruehrkreis, sondern
fuenf oder sechs (weiss nicht mehr genau).
Dann muss man ausnutzen, dass bei einer
Inversion am Kreis Kreise wieder
auf Kreise abgebildet werden, also:
fuehre eine inversion am Kreis
mit inversionszentrum auf einem
der Kreise durch, so dass man nur noch
zwei Kreise und eine gerade hat, die ein
dritter Kreis beruehren soll.
Die Mittelpunkte aller Kreise, die
sowohl einen Kreis, als auch eine
feste Gerade beruehren liegen
auf einer Parabel.
Man findet also zwei Parabeln.
Die schnittpunkte der Parabeln sind
schon mal zwei Kreismittelpunkte.
Sodele, nun
3.das ganze per Inversion zuruecktransform-
ieren. und
4.durch einen der erhaltenen mittelpunkte
und durch einen Mittelpunkt der vorgegebenen
Kreise eine Gerade legen. Diese Gerade
Schneidet den vorgegebenen Kreis in
zwei Punkten. einer von denen ist
der Beruehrpunkt des zu konstruierenden
Kreises mit dem vorgegebenen Kreis.
Feddich!
Marco
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Hi,
wir haben noch ein Problem, auch hier
wird
eine Funktion gesucht.In einer Ebene liegen 3 Kreise, die sich
weder berühren, noch schneiden. Nun soll
ein Kreis konstruiert werden, der alle 3
Kreise tangential berührt. Gegeben sind
die Mittelpunkte und die zugehörigen
Radien, und von dem neuen Kreis müssen
auch diese Werte erstellt werden.Die Funktion soll aus den Werten der 3
Kreise zum Schluß den neuen Kreis
bestimmen.Vielen Dank im Voraus
Winni
Das ist ein schoenes altes Geometrie-
Problem. Welcher Lehrer bringt das
heute noch im Unterricht? Denn
es ist ziemlich anspruchsvoll.
Daß es anspruchsvoll ist, haben wir festgestellt, wir brauchen es für ein CAD-Programm als Makro.
also erstens mal, es gibt nicht nur
einen Beruehrkreis, sondern
fuenf oder sechs (weiss nicht mehr
genau).
Theoretisch kannst Du ja schon damit spielen, ob kein, ein, zwei oder alle drei Kreise nnerhalb oder außerhalb des Kreises sind, und wo dann welcher Kreis ist.
Momentan sollen aber alle 3 Kreise außerhalb liegen.
Dann muss man ausnutzen, dass bei einer
Inversion am Kreis Kreise wieder
auf Kreise abgebildet werden, also:
fuehre eine inversion am Kreis
mit inversionszentrum auf einem
der Kreise durch, so dass man nur noch
zwei Kreise und eine gerade hat, die ein
dritter Kreis beruehren soll.Die Mittelpunkte aller Kreise, die
sowohl einen Kreis, als auch eine
feste Gerade beruehren liegen
auf einer Parabel.Man findet also zwei Parabeln.
Die schnittpunkte der Parabeln sind
schon mal zwei Kreismittelpunkte.
Sodele, nun3.das ganze per Inversion
zuruecktransform-
ieren. und4.durch einen der erhaltenen mittelpunkte
und durch einen Mittelpunkt der
vorgegebenen
Kreise eine Gerade legen. Diese Gerade
Schneidet den vorgegebenen Kreis in
zwei Punkten. einer von denen ist
der Beruehrpunkt des zu konstruierenden
Kreises mit dem vorgegebenen Kreis.Feddich!
Marco
Danke für die Beschreibung, ich werde sie versuchen nachzuvollziehen.
Gibt es auch eine Möglichkeit der Berechnung? (irgendwas aus der analytischen Geometrie)
Gruß
Winni
Gibt es auch eine Möglichkeit der
Berechnung? (irgendwas aus der
analytischen Geometrie)
Hi Winni,
Wenn man etwas konstruieren kann,
kann mans auch berechnen.
Da die Geometrische Loesung
auf den Schnitt zweier Parabeln
rauslaeuft, duerfte das
Algebraisch auf eine quadratische
Gleichung fuehren.
Hmm… mal schaun. Den Abstand eines
Punktes der Ebene von einem bestimmten
Kreis zu berechnen ist ja kein
Problem. Das ist eine quadratische
Formel. So, nun von den drei gegebenen
Kreisen die Formeln hinschreiben und
gleichsetzen. Duerfte eine quadratisches
Gleichungssystem mit drei Gleichungen
und zwei Unbekannten (x- und y-Position
des Punktes in der Ebene) werden.
Wenn Du Pech hast, koennte dieses
Gleichungssystem auf eine Biquadratische
oder sogar auf ein allgemeineres
Polynom vierten Grades fuehren.
(was leider nicht mehr so einfach
loesbar ist).
Egal, probier halt mal rum.
Marco
Also die Konstruktion erscheint mir recht einfach (falls ich da nichts übersehen habe). Gehen wir erst mal von zwei Kreisen aus (K1 und K2). Verbindest Du deren Mittelpunkte, so erhälst Du je einen Schnittpunkt der Strecke mit beiden Kreislinien. Zu dem Streckenabschnitt zwischen den beiden Kreislinien ist die Mittelsenkrechte zu konstruieren, auf der alle Mittelpunkte möglicher berührender Kreise für K1 und K2 liegen. Machst Du das gleiche für K1 und K3, bekommst Du einen Schnittpunkt der Mittelsenkrechten, der dann der gesuchte Kreismittelpunkt ist. Radius des ges. Kreises ist Abstand seines Mittelpunktes zum Mittelpunkt von K1 (oder K2 oder K3) minus dem Radius von K1 (/K2/K3). Mathematisch läßt sich das mit Mathe-LK-Wissen und/oder „Lineare Algebra / Analytische Geometrie“-Vorlesung (erstes Mathe-Semester) berechnen.
Ich hoffe, dieser etwas dürftige Lösungsweg hilft Dir.
Wolfgang
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Hi Wolfgang,
also das ist der Weg für 3 gleiche Kreise. Danke erstmal.
Kennst Du auch eine Lösung für unterschiedliche Kreisgrößen?
Irgendwie ich hab ne Idee, das über Verktorberechnung zu machen, hab aber keine Formeln und Verzeichnisse da.
Gruß Winni
Also die Konstruktion erscheint mir recht
einfach (falls ich da nichts übersehen
habe). Gehen wir erst mal von zwei Kreisen
aus (K1 und K2). Verbindest Du deren
Mittelpunkte, so erhälst Du je einen
Schnittpunkt der Strecke mit beiden
Kreislinien. Zu dem Streckenabschnitt
zwischen den beiden Kreislinien ist die
Mittelsenkrechte zu konstruieren, auf der
alle Mittelpunkte möglicher berührender
Kreise für K1 und K2 liegen. Machst Du das
gleiche für K1 und K3, bekommst Du einen
Schnittpunkt der Mittelsenkrechten, der
dann der gesuchte Kreismittelpunkt ist.
Radius des ges. Kreises ist Abstand seines
Mittelpunktes zum Mittelpunkt von K1 (oder
K2 oder K3) minus dem Radius von K1
(/K2/K3). Mathematisch läßt sich das mit
Mathe-LK-Wissen und/oder „Lineare Algebra
/ Analytische Geometrie“-Vorlesung (erstes
Mathe-Semester) berechnen.Ich hoffe, dieser etwas dürftige
Lösungsweg hilft Dir.Wolfgang
Hi,
wir haben noch ein Problem, auch hier
wird
eine Funktion gesucht.In einer Ebene liegen 3 Kreise, die sich
weder berühren, noch schneiden. Nun soll
ein Kreis konstruiert werden, der alle 3
Kreise tangential berührt. Gegeben sind
die Mittelpunkte und die zugehörigen
Radien, und von dem neuen Kreis müssen
auch diese Werte erstellt werden.Die Funktion soll aus den Werten der 3
Kreise zum Schluß den neuen Kreis
bestimmen.Vielen Dank im Voraus
Winni
Also, die Idee mit den zwei Kreisen ist doch garnicht so schlecht. Man geht ungefähr so vor:
Suche die Linie, auf der die Mittelpunkte aller Kreise liegen, die Kreis 1 und Kreis 2 berühren. Das führt auf eine Hyperbel:
verlangt ist d1 - r1 = d2 - r2 = R
d1/2 = Abstand zu Mittelpunkt 1/2
r1/2 = Radius Kreis 1/2
R = Radius des berührenden Kreises
umgeformt: d1 - d2 = r1 - r2
Das gleiche für die Kreise 1 und 3 ergibt eine zweite Hyperbel, bleibt nur noch die Berechnung des Schnittpunktes zweier Kegelschnitte zu berechnen, die einen Brennpunkt gemeinsam haben (vermutlich einfacher als das allgemeine Problem mit zwei beliebigen Hyperbeln).
Das ist dann wahrscheinlich noch einfacher zu rechnen als zu konstruieren, da Hyperbeln mit Zirkel und Lineal nicht so einfach sind.
Formelmäßig sind Vektoren bestimmt auch eine gute Idee.
Friedrich
Hi Wolfgang,
also das ist der Weg für 3 gleiche Kreise.
Danke erstmal.
Kennst Du auch eine Lösung für
unterschiedliche Kreisgrößen?
Irgendwie ich hab ne Idee, das über
Verktorberechnung zu machen, hab aber
keine Formeln und Verzeichnisse da.Gruß Winni
Also die Konstruktion erscheint mir recht
einfach (falls ich da nichts übersehen
habe). Gehen wir erst mal von zwei
Kreisen
aus (K1 und K2). Verbindest Du deren
Mittelpunkte, so erhälst Du je einen
Schnittpunkt der Strecke mit beiden
Kreislinien. Zu dem Streckenabschnitt
zwischen den beiden Kreislinien ist die
Mittelsenkrechte zu konstruieren, auf der
alle Mittelpunkte möglicher berührender
Kreise für K1 und K2 liegen. Machst Du
das
gleiche für K1 und K3, bekommst Du einen
Schnittpunkt der Mittelsenkrechten, der
dann der gesuchte Kreismittelpunkt ist.
Radius des ges. Kreises ist Abstand
seines
Mittelpunktes zum Mittelpunkt von K1
(oder
K2 oder K3) minus dem Radius von K1
(/K2/K3). Mathematisch läßt sich das mit
Mathe-LK-Wissen und/oder „Lineare Algebra
/ Analytische Geometrie“-Vorlesung
(erstes
Mathe-Semester) berechnen.Ich hoffe, dieser etwas dürftige
Lösungsweg hilft Dir.Wolfgang
Hi,
wir haben noch ein Problem, auch hier
wird
eine Funktion gesucht.In einer Ebene liegen 3 Kreise, die sich
weder berühren, noch schneiden. Nun soll
ein Kreis konstruiert werden, der alle 3
Kreise tangential berührt. Gegeben sind
die Mittelpunkte und die zugehörigen
Radien, und von dem neuen Kreis müssen
auch diese Werte erstellt werden.Die Funktion soll aus den Werten der 3
Kreise zum Schluß den neuen Kreis
bestimmen.Vielen Dank im Voraus
Winni
Ooops - mein Fehler
Eigentlich sollte meine Lösung allgemeingültig werden, aber da hab ich mir - wie’s scheint - doch nicht genug Gedanken drüber gemacht. Das mit der Vektorrechnung (evtl. erweitern auf Matrizen) ist das, was ich im Hinweis auf Mathe-LK oder Uni-Vorlesung meinte. Im Moment überschaue ich noch nicht ganz die Komplexität des Problems. Es könnte sein, dass meine Mittelsenkrechte aus dem ersten Vorschlag zu einer Art Parabel für die allgemeine Lösung wird. Dann würde es mit der einfachen Konstruktion ja nicht mehr so hinhauen. Muss ich in einer ruhigen Stunde aber nochmal drüber nachdenken.
Wolfgang
Hi Wolfgang,
also das ist der Weg für 3 gleiche Kreise.
Danke erstmal.
Kennst Du auch eine Lösung für
unterschiedliche Kreisgrößen?
Irgendwie ich hab ne Idee, das über
Verktorberechnung zu machen, hab aber
keine Formeln und Verzeichnisse da.Gruß Winni
Also die Konstruktion erscheint mir recht
einfach (falls ich da nichts übersehen
habe). Gehen wir erst mal von zwei
Kreisen
aus (K1 und K2). Verbindest Du deren
Mittelpunkte, so erhälst Du je einen
Schnittpunkt der Strecke mit beiden
Kreislinien. Zu dem Streckenabschnitt
zwischen den beiden Kreislinien ist die
Mittelsenkrechte zu konstruieren, auf der
alle Mittelpunkte möglicher berührender
Kreise für K1 und K2 liegen. Machst Du
das
gleiche für K1 und K3, bekommst Du einen
Schnittpunkt der Mittelsenkrechten, der
dann der gesuchte Kreismittelpunkt ist.
Radius des ges. Kreises ist Abstand
seines
Mittelpunktes zum Mittelpunkt von K1
(oder
K2 oder K3) minus dem Radius von K1
(/K2/K3). Mathematisch läßt sich das mit
Mathe-LK-Wissen und/oder „Lineare Algebra
/ Analytische Geometrie“-Vorlesung
(erstes
Mathe-Semester) berechnen.Ich hoffe, dieser etwas dürftige
Lösungsweg hilft Dir.Wolfgang
Hi,
wir haben noch ein Problem, auch hier
wird
eine Funktion gesucht.In einer Ebene liegen 3 Kreise, die sich
weder berühren, noch schneiden. Nun soll
ein Kreis konstruiert werden, der alle 3
Kreise tangential berührt. Gegeben sind
die Mittelpunkte und die zugehörigen
Radien, und von dem neuen Kreis müssen
auch diese Werte erstellt werden.Die Funktion soll aus den Werten der 3
Kreise zum Schluß den neuen Kreis
bestimmen.Vielen Dank im Voraus
Winni
… was ich im Hinweis auf
Mathe-LK oder Uni-Vorlesung meinte. …
noe, da musst du eher in steinalten
Geometrie-Lehrbuechern so um
1900 rum suchen.
Marco