Hallo Franzi.
meine Lieblingserklärung bei solchen Fragen ist im Unterricht:
„Darum!“ und wenn es jemandem nicht genug ist, dann: „DAs
wurde extra vor vielen vielen hundert Jahren von längst
verschollenen Völkergruppen so eingerichtet, damit Du dich
jetzt darüber ärgerst.“ Je nach Tagesform ersetze ich die
ollen Völkergruppen durch noch lebende Sprachwissenschaftler
und das Ärgern durch Mühe haben.
Jep, solche Lehrer hat ich auch mal. Es gab auch verschollene Völkergruppen, die das Anzünden des Feuers durch die Reibung zweier Stöckchen erledigten. 
Nun ja, Nichts für Ungut.
Wenn ich dich recht verstanden habe und ich gebe mir Mühe, dann meinst du, es geht nicht, weil es die „Teilnahme des Spieles“ nicht gibt, sondern nur die „Teilnahme an dem Spiel“.
Nun ursprünglich gab es aber auch das „Schlagen der Trommel“ nicht, sondern sicher nur das „Schlagen auf die Trommel“.
Längere Erklärung: Der Genitiv kann das nicht ausdrücken, was
Du gerne ausdrücken möchtest.
Zwischen der TEilnahme und dem Spiel besteht kein genetischer,
ursprünglicher Bezug.
Was ich, in diesem Fall, ja eben bezweifle. Warum denn nicht?
Das Spiel stammt nicht von der Teilnahme ab.
Nö, aber in diesem Fall eben die Teilnahme vom Spiel.
Ich weiß, dass es da holpert, die „Teilnahme des Spieles war gering“ ist sicher (noch) falsch. „Das Spiel, dessen Teilnahme gering war“, klingt aber für mich nicht unbedingt falsch und daran liegt’s wahrscheinlich, am Sprachgefühl.
Wie aber soll man so etwas sonst, so kurz und präzise, ausdrücken?
- die Vögel stammen allerdings von den Dinosauriern ab.
Es besteht auch kein Besitzverhältnis - „Das Haus des
Nachbarn“: Hier besitzt der Nachbar das Haus. „Die Teilnahme
des Spiels“: das Spiel besitzt doch nicht die Teilnahme.
Der Genitiv kann auch eine Eigenschaft ausdrücken: „Ein Ticket
zweiter Klasse“. Dabei wird die Zugehörigkeit des Tickets zu
einer bestimmten Eigenschaft ausgedrückt. Geht es um eine
bestimmte Eigenschaft des Spieles?
Ja klar, Teilnahme ist für mich, in dieser Redewendung eine Eigenschaft des Spieles. (Beim Flaschendrehen sowieso.)
Der GEnitiv kann auch ausdrücken, dass das Substantiv, das im
Nominativ steht (bei dir „TEilnahme“) ein Teil dessen ist, was
durch das Substantiv im GEnitiv ausgedrückt wird (bei Dir „des
Spieles“), wie in „der älteste Sohn der Familie“, „die andere
Seite der Medaille“, „der Süden des Landes“ - Problem ist
erstens, dass „Teilnahme“ ein Abstraktum ist. Ich kann sagen
„die Teilnehmer des Spieles“, denn die können konkret anwesend
sein. Teilnahme brauche ich nciht, die Leute müssen da sein.
Der GEnitiv kann die Quelle einer Handlung ausdrücken - „der
Rat des Freundes“ kommt vom Freund - kommt die Teilnahme vom
Spiel?
Wie man’s halt sieht, so rum gesehen schon. Weil, ohne Teilnehmer kann ich ja nicht spielen.
mfg