Hi Leute,
gegeben ist ein eindimensionaler String. Denkt an einen Bleistift ohne Ausdehnung.
Die Frage ist: Bietet die Mathematik (Topologie, Geometrie) die Möglichkeit, diesen String entlang seiner Ausdehnung als Achse in sich selbst zu verdrehen?
Was würde sich an seinen Eigenschaften dadurch ändern?
Gibt es Quellenangaben?
Gruß Maitre
Drehung und Fixpunkte
Hi Maitre
das kommt drauf an, was du unter „Drehung“ verstehen willst. Vielleicht magst du das ja mal definieren?
Hilfestellung: Nimm eine 2-dimensionale Mannigfaltigkeit + ihren Rand (d.h. z.B. eine berandete Kreisscheibe). Unter einer „Drehung“ versteht man eine umkehrbar eindeutige stetige(!) Abbildung auf sich (auf sich heißt, daß jeder Punkt auch Bildpunkt ist).
x → f(x)
Solche Abbildungen haben bei berandeten Mannigfaltigkeiten mindestens 1 Fixpunkt (ein Fixpunkt einer Abbildung ist ein Punkt, der mit seinem Bild identisch ist: f(x0) = x0).
Zur Lösung deiner Aufgabe: auch ein eindimensionales Gebilde mit Endpunkten ist eine berandete Mannigfaltigkeit. Eine umkehrbare eindeutige stetige Abbildung dieses berandeten Strings auf sich (das, was der Definition „Drehung“ topologisch entspricht) ist dann die identische Abbildung - bei der also jeder Punkt Fixpunkt ist. M.a.W. es passiert gar nichts.
Es steht dir aber frei, unter „Drehung“ etwas beliebiges anderes zu verstehen. Du mußt es dann nur eindeutig angeben …
Grüße …
Metapher
PS: Ein gutes Buch zur Einführung in die Topologie ist z.B.
B.H. Arnold: Elementare Topologie
ISBN 3525405227 Buch anschauen
Hi Metapher,
Es steht dir aber frei, unter „Drehung“ etwas beliebiges
anderes zu verstehen. Du mußt es dann nur eindeutig angeben.
Ich stelle mir also diesen „Bleistift“ in sich verdreht vor, so daß sich eine spiralstruktur ergibt. Somit ergäbe sich eine Verdrehung in sich, welche nur im eindimensionalen „Körper“ stattfinden würde, aber nichts außerhalb verändern würde. Macht eine solche Drehung im eindimensionalen also einen Sinn?
Gruß Maitre
Hallo, allerseits!
Ich kenne Drehungen nur aus der Linearen Algebra. Da waren das Scharen linearer Abbildungen T(alpha) : R^n -> R^n, wobei alpha ein Vektor von Winkeln ist (dazu später), für die gilt: T(alpha)^t * T(alpha) = Id, außerdem gilt T(alpha)^t = T^(-1)(alpha) = T(-alpha). Die Dinger bilden übrigens auch eine Gruppe.
Wenn wir sowas jetzt im zweidimensionalen machen, haben wir einen Freiheitsgrad (alpha ist dann ein ganz normaler Winkel), im Dreidimensionalen haben wir 2 Freiheitsgrade (alpha ist dann ein Vektor aus zwei Winkeln). Für den eindimensionalen Fall gibt ist die Gruppe der Drehungen _nulldimensional_, d.h. sie hat nur ein einziges Element, und das kann nur die Identität sein (wg. Gruppen-Eigenschaft). Ergo machen Drehungen als Abbildungen von R -> R keinen tieferen Sinn.
Wenn du unter Drehung aber eine Torsion verstehst, dann ist das was anderes. Wenn ich mir einen Faden (näherungsweise 1d) vorstelle und den dann als Schraube verdrehe, habe ich keine Gerade mehr. Allerdings habe ich nach wie vor eine eindimensionale (berandete, falls der Faden endlich ist) Mannigfaltigkeit im R^3. Wenn du dich dafür interessierst, laß’ es mich wissen, dafür kann ich dir sicher auch ein paar Abbildungen basteln.
Chris