Hallo liebe Leute, guten Morgen liebes Forum!
Also wenn ich es richtig verstehe, dann kann jede endliche Gruppe durch eine endliche M erzeugt werden oder? Falls den nicht so ist, wäre ein Beispiel sehr nett!
Weiter ist nicht jede endliche Gruppe zyklisch! Auch hir wäre ein Beispiel nett.
Man sagt, zyklische Gruppen werden eben durch ein Element a erzeugt. Dabei wird jedes weitere Element der Gruppe durch eben dieses a erzeugt. Also lässt sich jedes Element von der Gruppe, dann als Potenz von a schreiben.
Angenommen ich betrachte den Z4 = Z_index 4, also die Menge der Kongruenzklassen modulo 4.
An dem Beispiel Z4, konnte ich dass gut nach vollziehen: [1] ist mein erzeugendes Element von Z4, da ich [1] mit sich selbst so oft verknüpfen(addieren) kann, bis ich alle Elemente von Z4 habe.
(Genau hir mache ich wahrscheinlich meinen Fehler) Da es bei dieser Menge tatsächlich so ist, dass ich meine Inversenelemente erhalte und das neutrale. Nun verstehe ich dann halt überhaupt nicht wieso Z bezüglich der Addition, zyklisch ist?
Da ich nach meiner Auffassung sei zum Beispiel 1 der Erzeuger, nur 1, 1+1, 1+1+1,… erhalte!? Wie bekomme ich NUll und meine Inversenelemente? Ich habe also anscheinend die Definition von „zyklisch“ nicht verstanden. Wäre deswegen sehr erfreut wenn mir die einer so erklären kann, dass ich auch verstehe wieso Z zyklisch ist!
Danke
Gruß
Tobias
Hallo
Also wenn ich es richtig verstehe, dann kann jede endliche
Gruppe durch eine endliche M erzeugt werden oder? Falls den
nicht so ist, wäre ein Beispiel sehr nett!
Natürlich, die Gruppe selbst ist ein endlicher Erzeuger.
Weiter ist nicht jede endliche Gruppe zyklisch! Auch hir wäre
ein Beispiel nett.
Z4xZ4 mit der komponentenweisen Addition.
Man sagt, zyklische Gruppen werden eben durch ein Element a
erzeugt. Dabei wird jedes weitere Element der Gruppe durch
eben dieses a erzeugt. Also lässt sich jedes Element von der
Gruppe, dann als Potenz von a schreiben.
Angenommen ich betrachte den Z4 = Z_index 4, also die Menge
der Kongruenzklassen modulo 4.
An dem Beispiel Z4, konnte ich dass gut nach vollziehen: [1]
ist mein erzeugendes Element von Z4, da ich [1] mit sich
selbst so oft verknüpfen(addieren) kann, bis ich alle Elemente
von Z4 habe.
(Genau hir mache ich wahrscheinlich meinen Fehler) Da es bei
dieser Menge tatsächlich so ist, dass ich meine
Inversenelemente erhalte und das neutrale. Nun verstehe ich
dann halt überhaupt nicht wieso Z bezüglich der Addition,
zyklisch ist?
Da ich nach meiner Auffassung sei zum Beispiel 1 der Erzeuger,
nur 1, 1+1, 1+1+1,… erhalte!? Wie bekomme ich NUll und
meine Inversenelemente? Ich habe also anscheinend die
Definition von „zyklisch“ nicht verstanden. Wäre deswegen sehr
erfreut wenn mir die einer so erklären kann, dass ich auch
verstehe wieso Z zyklisch ist!
Ich glaube, Du hast schon verstanden, was zyklisch heisst. Ich glaube eher Du hast Z4 nicht verstanden. Etwas sallop gesagt, gilt in Z4: 0=4. Genauer arbeitet man mit Äquivalenzklassen von ganzen Zahlen, wobei man zwei Zahlen a und b miteinander identifiziert, falls b-a durch 4 teilbar ist. Man kommt aber im Wesentlichen auf dasselbe, wenn man die Addition neu definiert. Die Summe von a und b ist dann a+b mod 4, d.h. Du addierst a+b wie gewohnt in Z und nimmst als Resultat den Rest modulo 4. Ein Beispiel 3+2=5 mod4 =1. Und so erhälst Du auch Inverse: „-1=3“ oder „-2=2“…
Was das Neutralelement (in Deinem Fall die Null) betrifft, ist das immer in der von einem Element a erzeugten Gruppe drin, denn es ist per Definition 0*a (additiv geschrieben).
Gruss Urs
Hallo Urs!
Also ich glaube schon, ich habe Z4 verstanden. Nur wie bitte kann Z selbst zyklisch sein? Also wie kommen die Inversen zustande und dass neutrale Element? Also mit welchem Element wird Z erzeugt, und nach welchem Schema?
Gruß
Tobias
Hallo
Also ich glaube schon, ich habe Z4 verstanden. Nur wie bitte
kann Z selbst zyklisch sein? Also wie kommen die Inversen
zustande und dass neutrale Element? Also mit welchem Element
wird Z erzeugt, und nach welchem Schema?
Ich gehe hoffentlich richtigerweise davon aus, dass Du mit Z die Menge der ganzen Zahlen, mit der üblichen Addition bezeichnest. In diesem Fall gilt:
Neutrales Element: 0
Inverses von a: -a (im Sinne der Zahl, die das umgekehrte Vorzeichen hat)
Erzeugendes Element: 1 (oder auch -1).
Gruss Urs