Einfache Frage zum Beweis der Bijektivität

[Majek]

Hallo, bin ans Ende des ersten Kapitels des Jänichs gelangt. Bei den Aufgaben komme ich bei der zweite nicht ganz klar, das mag daran liegen, dass ich im mathematischen Argumentieren alles andere als fit bin. Hier mal die Aufgabenstellung:

_Die Umkehrabbildung f^-1 einer bijektiven Abbildung f:X->Y hat die Eigenschaften f°f^-1=Id_Y und f^-1°f=Id_X.Umgekehrt gilt nun: Sind f:X->Y und g:Y->X Abbildungen und ist ferner fg=Id_Y und gf=Id_X, so ist f bijektiv und f^-1=g.
Beweise die Bijektivität.

(Der Beweis für die Injektivität von f soll so aussehen:
„Seien x,x’ e X und f(x)=f(x’). Dann ist … .
Also ist x=x’. Damit ist f als injektiv nachgewiesen.“)

(Der Beweisfür die Surjektivität von f soll so aussehen:
„Sei y e Y.Dann wählen wir x= … . Dann gilt …,
also f(x)=y. Damit ist f als surjektivnachgewiesen.“)_

Die Aufgabe besteht also im Prinzip lediglich daraus, die "…"auszufüllen, aber da habe ich schon Probleme, hätte beim ersten einfach das geschrieben, was danach im Beweis folgt.

[Andreas_d60f3b]

Hallo,

Sind f:X->Y und g:Y->X Abbildungen und ist ferner fg=Id_Y
und gf=Id_X, so ist f bijektiv

ich habe nicht verstanden, was du hier zu schreiben vorhattest, aber ich würde kurz und schmerzlos einfach die paar Voraussetzungen, die gegeben sind, hernehmen und g sowohl auf f(x) als auch auf f(x’) anwenden, damit sich „g nach f“ zur Identität verflüchtigen kann:

(Der Beweis für die Injektivität von f soll so aussehen:
"Seien x,x’ e X und f(x)=f(x’). Dann ist …

g(f(x)) = g(f(x’)), also Id_X(x) = Id_X(x’)

Also ist x=x’. Damit ist f als injektiv nachgewiesen.")

Andreas