Hallo Dirk.Pegasus !
Diese Frage kam mit verschiedenen Werten schon öfter, ich glaube auch im Rätselbrett.
Ich habe mir mal zwei Lösungswege aufgeschrieben:
Lösungsweg 1:
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\_|
|\
| \
| \
x| \_\_\
|| |\
||\_\_| \
-+----------
| y |
Wenn man mit dem Strahlensatz arbeitet:
x = Höhe der Leiterspitze an der Wand
y = Abstand des Leiterfußes zur Wand
Dann ist:
10^2 = x^2 + y^2
Und:
(x-1) / 1 = x / y
Die Aufgabe führt zu folgender Gleichung 4. Grades:
x^4 - 2x^3 - 98x^2 + 200x - 100 = 0
Ergebnis:
H1 = 9.938 m
H2 = H1 / (H1-1) = 1.112 m
Diese beiden Lösungen sind komplementär, die anderen beiden Möglichkeiten scheiden aus.
Lösungsweg 2:
Hier ein Lösungsweg, der mit (bi)quadratischen Gleichungen auskommt:
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\_|
|\
| \
x| \_\_ M
\_| \_\_\_\_ d
|| |\
||\_\_| \
+----------
| y|
Sei M der Mittelpunkt der Leiter (also bei 5 Metern), d der Abstand von M zum Auflagepunkt der Leiter auf den Würfel, x der Abstand von Würfeloberkante zum Punkt, wo die Leiter an die Wand stößt, y der Abstand zwischen Würfel und unterem Leiterauflagepunkt.
Gesucht ist die Höhe x+1.
Wir haben drei ähnliche Dreiecke: Ein großes, ein oberes und ein unteres.
Ähnlichkeitsbetrachtungen zwischen dem oberen und dem unteren liefern uns: x/1 = 1/y, also
A) x = 1/y
und damit insbesondere durch Multiplikation mit x * y * y auf beiden Seiten:
A2) x^2 * y^2 = 1 (das brauchen wir später)
Pythagoras am oberen Dreieck:
die erste Kathete = 1, nämlich die obere Seite der Kiste,
die zweite Kathete = x, so wurde die Strecke oben gewählt
die Hypotenuse = 5 + d, also die obere Hälfte der Leiter (5 Meter) und das Stück von der Mitte M bis zum Berührpunkt mit der Kiste.
Der Pythagoras davon: 1^2 + x^2= (5 + d)^2
1 abziehen auf beiden Seiten gibt
B) x^2 = (5 + d)^2 - 1 oder schöner:
B2) x^2 = (6 + d) * (4 + d) (dritte binomische Formel: a^2 - b^2 = (a + b) * (a - b))
Pythagoras am unteren Dreieck liefert analog
C) y^2 = (5 - d)^2 - 1 bzw
C2) y^2 = (6 - d) * (4 - d)
B2 und C2 multiplizieren und auf der linken Seite A2 ausnutzen liefert
1 = (6 + d) * (4 + d) * (6 - d) * (4 - d)
daraus wird durch umsortieren und 3. binom. Formel
1 = (6^2 - d^2) * (4^2 - d^2
Substitution u = d^2 ergibt die quadratische Gleichung
1 = (36 - u) * (16 - u)
bzw:
u^2 - 52u + 575 = 0
Auflösen liefert u:
u1 = 26 + Wurzel(101) = 36.049876…
u2 = 26 - Wurzel(101) = 15.950124…
Daraus die Wurzel, sas ist die Substitution von oben, nur rückwärts, liefert d.
Es gibt jetzt natürlich zwei Möglichkeiten, die Wurzeln zu ziehen und letztendlich ist nicht nur die positive, sondern auch die negative Wurzel eine mathematisch korrekte Lösung der Gleichung D.
Es gibt jetzt also:
d11 = + Wurzel(u1) = + Wurzel(26 + Wurzel(101)) = + 6.0041549…
d12 = - Wurzel(u1) = - Wurzel(26 + Wurzel(101)) = - 6.0041549…
d21 = + Wurzel(u2) = + Wurzel(26 - Wurzel(101)) = + 3.9937607…
d22 = - Wurzel(u2) = - Wurzel(26 - Wurzel(101)) = - 3.9937607…
Natürlich erwartet man das der Abstand zwischen der Mitte der Leiter und der Kante der Kiste immer größer als Null ist, also sind die Lösungen d12 und d22 zwar mathematisch erlaubt, aber physikalisch nicht sinnvoll.
B) liefert x:
d11 liefert mit B: x11 = Wurzel((5 + d11)^2 - 1) = Wurzel((5 + Wurzel(26 + Wurzel(101)))^2 - 1) = 10.958623…
d21 liefert mit B: x21 = Wurzel((5 + d21)^2 - 1) = Wurzel((5 + Wurzel(26 - Wurzel(101)))^2 - 1) = 8.9379937…
(Dabei sind die negativen Wurzeln gleich weggelassen, weil man mit der Leiter ja hinauf und nicht hinunter steigen will.)
Hier lässt sich jetzt das Ergebniss x11 ausschließen, denn mit einer zehn Meter langen Leiter kann man nicht fast 11 Meter klettern.
1 dazuzählen liefert die gesuchte Höhe:
h = 1 + Wurzel((5 + Wurzel(26 - Wurzel(101)))^2 - 1)
h = 9.9379937…
mfg
Christof
