Hallo,
Luggi warf hier unlängst die Frage auf, wie man auf die Nullstelle(n) der Formel
f(x) = x^3 + x^2 - 5
kommt. Da war dann die Rede von diesem und jenem, aber die Lösung stand nirgendwo. Man kann ja auch die Formel umstellen zu
x^3 + x^2 = 5
Das sollte doch wohl irgendwie lösbar sein. Danke für den Lösungsweg.
Gruß Rüdiger
Auch hallo.
Man kann ja auch die Formel umstellen
zux^3 + x^2 = 5
Das sollte doch wohl irgendwie lösbar sein.
Also eine geschlossene Formel wie z.B. die p-q-Formel (*) ist hierfür noch nicht entdeckt worden.
(*)Parameter auslesen, in eine Formel einsetzen, Ergebnisse ausrechnen
Aber die Numerik liefert für solche Fragestellungen Iterationslösungen 
Oder man visualisiert die Gleichungen und schaut, wo die gegebenen Bedingungen erfüllt werden.
mfg M.L.
Hallo!
Luggi warf hier unlängst die Frage auf, wie man auf die
Nullstelle(n) der Formelf(x) = x^3 + x^2 - 5
kommt. Da war dann die Rede von diesem und jenem, aber die
Lösung stand nirgendwo.
Es hieß mal, jedes vernünftige Polynom hätte mindestens einmal die Nullstelle x=1. Dieses Polynom ist also ein „unvernünftiges“.
Bilden wir mal die Ableitung:
f’(x) = 3x^2 + 2x
Nun gibt es ja das Newton-Verfahren zur Bestimmung der Nullstellen.
xn+1 = xn - f(xn)/f’(xn)
Bei einem Startwert von x1 = +2 konvergiert x recht schnell gegen den Wert
xn = 1,4334… (für n>4)
Also müsste man das Polynom durch (x - 1,4334) teilen können:
Polynomdivision:
(x^3 + x^2 - 5) : (x - 1,4334) = x^2 + 2,4334 x +
x^3 - 1,4334 x^2 3,4880
-----------------
+ 2,4334 x^2
2,4334 x^2 - 3,4880 x
---------------------
+ 3,4880 x - 5)
3,4880 x - 5,0000
-----------------
0,0000
Also kann man das Polynom auch schreiben als
x^3 + x^2 - 5 = (x^2 + 2,4334 x + 3,4880) * (x - 1,4334)
Wenn der zweite Faktor ungleich 0 ist, muss der erste Faktor null sein, um eine Nullstelle zu ergeben, also:
x^2 + 2,4334 x + 3,4480 = 0
Nach der Mitternachtsformel:
x = -1,2167 +/- Wurzel((1,2167)^2 - 3,4880)
= -1,2167 +/- Wurzel(-2,0076)
Im Reellen hat f(x) also nur eine Nullstelle: x1 = 1,4334.
Darüber hinaus im Komplexen die beiden Nullstellen
x2/3 = - 1,2167 +/- 1,4169i
Michael
Hallo M.L.!
Auch hallo.
Man kann ja auch die Formel umstellen
zux^3 + x^2 = 5
Das sollte doch wohl irgendwie lösbar sein.
Also eine geschlossene Formel wie z.B. die p-q-Formel (*) ist
hierfür noch nicht entdeckt worden.
Da bist Du nicht mehr ganz auf dem allerneuesten Stand. 1545 wurden die entsprechenden Formel allerdings veröffentlicht.
http://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formel
(Numerisch geht es allerdings einfacher als in den geschlossenen Formeln)
Michael
Hallo Michael,
Da bist Du nicht mehr ganz auf dem allerneuesten Stand. 1545
wurden die entsprechenden Formel allerdings veröffentlicht.http://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formel
(Numerisch geht es allerdings einfacher als in den
geschlossenen Formeln)
Stellvertretend für all deine Antworten hier:
Ein Sternchen.
Meine Kids würden sich dich als Lehrer mehr als wünschen.
Michael
Grüße
BW
Auch hallo,
Luggi warf hier unlängst die Frage auf, wie man auf die
Nullstelle(n) der Formelf(x) = x^3 + x^2 - 5
kommt. Da war dann die Rede von diesem und jenem, aber die
Lösung stand nirgendwo.
so wie Du die Nullstellen quadratischer Polynome mit der pq-Formel [*] berechnen kannst, kannst Du das bei kubischen Polynomen mit den Formeln von Cardano [**] tun. Beides stellen algebraische Verfahren dar – das Gegenstück dazu sind numerische Methoden wie die von den anderen Postern angesprochene Newton-Iteration.
[*] x1, 2 = –p/2 ± √((p/2)2 – q)
auch „Mitternachtsformel“ genannt
[**] http://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formel
Man kann ja auch die Formel umstellen zu
x^3 + x^2 = 5
Das sollte doch wohl irgendwie lösbar sein.
Ohne Dir zu nahe treten zu wollen – die Umstellung von x³ + x² – 5 = 0 zu x³ + x² = 5 ist völlig belanglos.
Danke für den Lösungsweg.
Wie man mit den Formeln von Cardano ausrechnen kann, dass das Polynom x³ + x² – 2 genau eine reelle Nullstelle hat, und dass diese gleich 1 ist, habe ich in meiner Antwort an Luggi gezeigt. Wenn Du es nachlesen willst:
http://www.wer-weiss-was.de/cgi-bin/forum/showarchiv…
Mit freundlichem Gruß
Martin
Hallo Michael,
zwar habe ich nicht verstanden, wie die Newton-Formel funktioniert, aber wenn man auf sowas zurückgreifen kann, kommt man natürlich weiter, sobald man erstmal eine Nullstelle hat. Polynomdivisionen mit vier Nachkommastellen habe ich noch nie ausprobiert, aber das funktioniert tatsächlich. Vielen Dank und ein Sternchen für Deine Mühe und die gute Erklärung in Deinem Artikel weiter oben!
Gruß Rüdiger
Hallo,
vielen Dank für alle Antworten!
Gruß Rüdiger
Meine Kids würden sich dich als Lehrer mehr als wünschen.
… und meine Schüler würden sich wünschen, sie hätten einen anderen Lehrer
Michael
offtopic
Hallo nochmal.
Da bist Du nicht mehr ganz auf dem allerneuesten Stand. 1545
wurden die entsprechenden Formel allerdings veröffentlicht.
Ja, da hat jemand einen längeren Winterschlaf gehalten:
„…Und wenn das 5. Lichtlein brennt, hast du die Cardanische Form verpennt…“
Ob man allerdings so viel verpasst hat ?! Wikipedia: „Die Cardanischen Formeln besitzen bei der numerischen Lösung von Gleichungen heute keine praktische Bedeutung mehr.“ Und mit der Newton-Iteration ist es etwas einfacher zu rechnen.
mfg M.L.
Hallo,
Und mit der Newton-Iteration ist es etwas einfacher zu rechnen.
der Pferdefuß bei der Newton-Iteration ist die Wahl der Startwerte.
Beispielsweise hat dieses Polynom
0.0001 x3 – 10 x2 + 10000 x + 1000000
drei reelle Nullstellen, die Dir die Cardanischen Formeln anstandslos ausspucken. Aber was würdest Du als Startwerte für die Newton-Iteration nehmen, um alle drei Nullstellen zu berechnen?
Gruß
Martin
Da war dann die Rede von diesem und jenem, aber die
Lösung stand nirgendwo. Man kann ja auch die Formel umstellen
zux^3 + x^2 = 5
Das sollte doch wohl irgendwie lösbar sein. Danke für den
Lösungsweg.
Hi,
Diese Umstellung macht das ganze Problem leider nicht einfacher sondern schwieriger, da dies nun kein Nullstellenproblem mehr ist. Es ist i.A. in der Mathematik üblich ein solches Problem auf ein Nullstellenproblem zu reduzieren, denn man hat bis heute nur Formeln für Nullstellen gefunden und selbst bei Nullstellen gibt es nicht für jedes Polynom eine Lösungsformel. Bei Polynomen in denen das x in 4. Potenz vorkommt, gibt nur noch in manchen Fällen eine Formel und bei Polynomen in denen das x in 5. Potenz oder höher vorkommt ist dann defintiv Sense. Man hat sogar bewiesen, dass es bei Polynomen, die das x in 5. Potenz oder noch höherer Potenz enthalten keine Formel für die Nullstelle geben KANN, was nicht heisst, dass keine Nullstelle existiert, sondern es heisst einfach nur, dass man sie durch die Operationen +,-,*,/ und Wurzel ziehen nicht darstellen kann.
Für sowas gibt es dann das Newtonverfahren oder andere Algorithmen, die die Nullstellen in guter Näherung berechnen
Gruss,
Timo
Hallo Timo,
Danke für Deine Antwort. Ich hatte eigentlich nach einem Lösungsweg gesucht, welcher sich durch pures Umstellen/Ergänzen usw. der Ausgangsformel ergibt, aber das geht wahrscheinlich gar nicht, sodaß man z.B. auf die Newton-Annäherung zurückgreifen muß.
Gruß Rüdiger