Hallo
Ich habe versucht diese einfache Gleichung nach p aufzulösen.
sqrt(p^2 - 5) + p =1
sqrt(p^2 -5 ) =1-p
p^2 - 5 = (1-p)^2
p^2 - 5 = 1 - 2p + p^2
-6 = -2p
3=p
Nach einigen Rechenschritten kamm ich auf das Ergeniss p=3.
Wenn man jedoch die Probe macht und für p drei einsetzt kommt ein nicht wahres Ergebniss 5=1 heraus.
Was mache ich falsch ? Vielleicht kann mir einer helfen
Vielen Dank im vorraus.
Nijam
Ich habe versucht diese einfache Gleichung nach p aufzulösen.
sqrt(p^2 - 5) + p =1
sqrt(p^2 -5 ) =1-p
p^2 - 5 = (1-p)^2
p^2 - 5 = 1 - 2p + p^2
-6 = -2p
3=pNach einigen Rechenschritten kamm ich auf das Ergeniss p=3.
Wenn man jedoch die Probe macht und für p drei einsetzt kommt
ein nicht wahres Ergebniss 5=1 heraus.
Was mache ich falsch ?
Durch das Quadrieren der Gleichung erzeugst Du eine zusätzliche Lösung, die nicht Lösung der ursprünglichen Gleichung ist. Da die ursprüngliche Gleichung keine reelle Lösung hat, ist das von Dir erzeugte Artefakt die einzige „Lösung“, die Du findest.
Daß die Gleichung keine reellen Lösung hat, sieht man sehr schön nach Deiner ersten Umformung. Der Ausdruck unter der Klammer muß positiv oder Null sein. Daraus folgt
p >= √5
Der Ausdruck auf der rechten Seite muß aber auch größer oder gleich Null sein. Daraus folgt
p
Hallo DrStupid
Du machst nichts falsch, deine Umformungen sind nur nicht vollständig. Wie schon gesagt, nach dem Quadrieren musst du die negativen Faktoren berücksichtigen. D.h. wenn du eine Unbekannte quadrierst, dann kann als Lösung auch eine negative Zahl herauskommen. Z.B. -2^2=4 und 2^2=4. In deinem Fall bekommst du zwei Gleichungen.
Nach der Umformung ergibt das für die Gleichung 1:
2*p-6=0 und für die Gleichung 2:
p^2-p-2=0. Nach Einsetzen bekommen wir einen Widerspruch, wie du schon richtig gemacht hast. In diesem Fall müssen wir den Satz von Vietà anwenden und die imaginären Zahlen in Betracht ziehen, da es keine reelle Lösung gibt. Ich hoffe, du kennst den Begriff der imaginären Zahlen: i^2=-1.
Nach Vietà würde das für die zweite Gleichung bedeuten (unter Betracht der Doppellösung):
p1+p2=2 und p1*p2=-2
p1,2=[1±wurzel(1-8)]/-2, da wir unter der Wurzel die -7 hätten, behelfen wir uns mit dem oben erwähnten Begriff i^2=-1. Das heisst wiederum:
p1,2=[1±wurzel(i^2*7)]/-2 und -1/2±[i\*wurzel(7)/-2].
Hierin ist -1/2 der reelle Teil und [i\*wurzel(7)/-2] der imaginäre Teil. Diese kannst du im polaren Koordinatensystem darstellen.
Gruss und viel Erfolg.
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