Hallo!
Kennt jemand eine einfache Herleitung für die bekannte Einsteinsche Formel? Sie sollte auf Abiturs-Niveau verständlich sein (also keine Vierervektoren, partielle Differentialgleichungen, …). Außerdem wäre es gut, wenn die Herleitung ohne den Begriff der „relativistischen Masse“ auskäme.
Vielen Dank!
Gruß, Michael
Hallo Michael!
Kennt jemand eine einfache Herleitung für die bekannte
Einsteinsche Formel? Sie sollte auf Abiturs-Niveau
verständlich sein (also keine Vierervektoren, partielle
Differentialgleichungen, …).
Was ist denn an Vierervektoren so schlimm? Den Schülern sind doch auch die Dreiervektoren r vertraut. Was ist also dabei die Zeit noch als vierte Komponente dazuzunehmen? -> (ct, r ) Gut, die Metrik dieses Raumes ist etwas gewönungsbedürftig:
c²(dτ)² := c(dt)² - (d r )²
aber für einen Physik-LK doch nicht zu kompliziert, oder?
Also, falls du dich doch für den Viererformalismus entscheiden solltes, sähe die Herleitung in etwa so aus (auf Wunsch noch ausführlicher):
Viererortsvektor: x =(ct, r ) bzw. dx = (cdt,d r ) )
Eigenzeit (Skalar): dτ = dt/γ mit dem Lorentzfaktor γ.
Tja, und dann einfach die relativistische Mechanik analog zur Newtonschen aufbauen:
=> Vierergeschwindigkkeit: u := dx/dτ = γ dx/dt = γ(cdt,d r )/dt = γ (c, v )
=> Viererimpuls: p := mu = γm (c, v )
Der Viererimpuls ist analog zu Newton eine Erhaltungsgröße, d.h. jede Komponente ist einzeln erhalten. Um die physikalsiche Bedeutung der nullte Komponete zu erfassen, wird sie einfach für kleine Geschindigkeiten entwickelt und dann mit den bekannten Größen aus Newtons Welt verglichen:
cp0 = mc² + 1/2mv² + …
Aha, cp0 ist offensichtlich die (kinetische) Energie E (eine additive Konstante zur kinetischen Energie ist in der Newtonschen Mechanik ja belanglos)! Im Ruhesystem (v=0) hat man schließlich:
ERuhe = mc²
Und das wars auch schon.
Außerdem wäre es gut, wenn die
Herleitung ohne den Begriff der „relativistischen Masse“
auskäme.
was sollte das auch sein? 
Gruß
Oliver
Hallo Oliver,
Danke für die Antwort, auch wenn sie mir kaum weiterhilft…
Was ist denn an Vierervektoren so schlimm? Den Schülern sind
doch auch die Dreiervektoren r vertraut.
Du überschätzt das Abstraktionsvermögen von Schülern gewaltig. Etwas, was im Physik-Studium absolut locker flockig von der Hand geht („Die Geschwindigkeit ist die erste Ableitung des Ortsvektors“) muss in der Schule erst noch aufwendig plausibel gemacht werden. Da stellt sich dann häufig die Frage nach dem Verhältnis von Aufwand und Ertrag. Wenn ich Vierervektoren nur brauche, um E=mc² herzuleiten, ist das kaum eine ausreichende Rechtfertigung für ihre Einführung.
Was ist also
dabei die Zeit noch als vierte Komponente dazuzunehmen? ->
(ct, r ) Gut, die Metrik dieses Raumes ist etwas
gewönungsbedürftig:c²(dτ)² := c(dt)² - (d r )²
aber für einen Physik-LK doch nicht zu kompliziert, oder?
Doch. Erklär mal einem Physik-LK, was eine „Metrik“ überhaupt ist.
Also, falls du dich doch für den Viererformalismus entscheiden
solltes, sähe die Herleitung in etwa so aus (auf Wunsch noch
ausführlicher):
Danke, die habe ich auch im einen oder anderen Lehrbuch gefunden…
Außerdem wäre es gut, wenn die
Herleitung ohne den Begriff der „relativistischen Masse“
auskäme.was sollte das auch sein?
In Schulbüchern läuft die Herleitung in etwa so: Man vergleicht die Wirkung eines Stoßes von zwei Bezugssystemen aus. Da die Geschwindigkeiten relativ sind, die Wirkungen jedoch invariant, müssen (wegen Impulserhaltung) die Massen ebenfalls relativ sein. Die Differenz von relativistischer Masse und Ruhemasse ist die kinetische Energie dividiert durch c². Man interpretiert die Ruhemasse ebenfalls als Energie-Äquivalent mit E=mc² und hat so die Formel für die (relativistische) Gesamtenergie.
Ich weiß natürlich, dass die relativistische Masse als Begriff vermieden werden sollte. Deswegen bin ich auch auf der Suche nach einer Herleitung mit elementaren Mitteln, die ohne die Krücke der relativistischen Masse auskommt.
Gruß, Michael
Hallo,
Du überschätzt das Abstraktionsvermögen von Schülern gewaltig.
Naja, wenn der R³ mit dem euklidischen Skalarprodukt doch vertraut ist, ist der R4 mit dem Minkowski-Skalarprodukt doch auch nicht mehr weit.
Also, ich weiß noch aus meiner Schulzeit, dass dort viel Zeit für umständliche Herleitungen verschwendet wurde, die dann paradoxerweise bei der Einführung von Methoden gefehlt hat, mit denen die eleganteren Herleitungen möglich wären.
Bestes Beispiel: Lösung der Gleichung für den angetriebenen Oszillator.
Schule: Sinus- und Cosinusfunktionen, Koeffizientenvergleich, Additionstheoreme -> 2 Seiten
Uni: komplexe Zahlen -> 3 Zeilen
In Schulbüchern läuft die Herleitung in etwa so: Man
vergleicht die Wirkung eines Stoßes von zwei Bezugssystemen
aus.
Wenn das mal nicht der Metzler ist…
Da die Geschwindigkeiten relativ sind, die Wirkungen
jedoch invariant, müssen (wegen Impulserhaltung) die Massen
ebenfalls relativ sein.
Dieser Schluss ist etwas voreilig, aus dem Experiment folgt zunächst nur dass der klassische Impuls p = mv durch den relativistischen p = γmv ersetzt werden muss. Dass das γ der Masse zugeschlagen werden muss, folgt daraus nicht. Und wäre sowohl aus formalen Gründen (Masse ist ein Lorentzskalar) als auch aus didaktischen Gründen
(wieso gilt nicht Ekin=1/2m(v)v² ?) ein Fehler.
Ich weiß natürlich, dass die relativistische Masse als Begriff
vermieden werden sollte. Deswegen bin ich auch auf der Suche
nach einer Herleitung mit elementaren Mitteln, die ohne die
Krücke der relativistischen Masse auskommt.
Ok, man könnte es auch so machen:
Die Energie, die ein Körper der Masse m bei Einwirkung einer Kraft F längs eines Weges aufnimmt, ist:
ΔW = ∫ds F
= ∫ds dp/dt
= m ∫ds d(γv)/dt
= m ∫ds (γdv/dt + vdγ/dt)
= m ∫ds (γdv/dt + (v²/c²)γ³dv/dt)
= m ∫dv (γv + (v³/c²)γ³)
= m ∫dv vγ³
= mc²γ - mc²
Und man interpretiert folglich:
E = mγc² als Gesamtenergie
E0 = mc² als Ruheenergie.
Ist zwar nicht so elegant, erfüllt aber deine sonstigen Anforderungen.
Gruß
Oliver
Hallo!
Du überschätzt das Abstraktionsvermögen von Schülern gewaltig.
Naja, wenn der R³ mit dem euklidischen Skalarprodukt doch
vertraut ist, ist der R4 mit dem
Minkowski-Skalarprodukt doch auch nicht mehr weit.Also, ich weiß noch aus meiner Schulzeit, dass dort viel Zeit
für umständliche Herleitungen verschwendet wurde, die dann
paradoxerweise bei der Einführung von Methoden gefehlt hat,
mit denen die eleganteren Herleitungen möglich wären.Bestes Beispiel: Lösung der Gleichung für den angetriebenen
Oszillator.Schule: Sinus- und Cosinusfunktionen, Koeffizientenvergleich,
Additionstheoreme -> 2 SeitenUni: komplexe Zahlen -> 3 Zeilen
Volle Zustimmung!
In Schulbüchern läuft die Herleitung in etwa so: Man
vergleicht die Wirkung eines Stoßes von zwei Bezugssystemen
aus.Wenn das mal nicht der Metzler ist…
Metzler und Dorn-Bader verwenden denselben Herleitungsweg. Ist ja auch der gleiche Verlag…
Ist zwar nicht so elegant, erfüllt aber deine sonstigen
Anforderungen.
Danke für den zweiten Weg. Fand ich interessant, aber ich gebe Dir recht, dass er nicht elegant ist.
An der Idee mit dem Aufprall gefällt mir auch nicht, dass der Impuls als alleiniges Maß für die Aufprallwirkung betrachtet wird. Mit ähnlicher Glaubwürdigkeit hätte man ja auch die kinetische Energie heranziehen können - und dann funktioniert die Herleitung nicht.
Ein Vorzug ist, dass man so schön diskutieren kann, was die unterschiedlichen Betrachter für ein Bild von dem Geschehen haben.
Gruß, Michael
Hallo Michael,
An der Idee mit dem Aufprall gefällt mir auch nicht, dass der
Impuls als alleiniges Maß für die Aufprallwirkung betrachtet
wird. Mit ähnlicher Glaubwürdigkeit hätte man ja auch die
kinetische Energie heranziehen können - und dann funktioniert
die Herleitung nicht.
Du sagst es! Im Grunde ist es schon unsinnig überhaupt Gesetze der Newtonschen Mechanik für eine Situation anzuwenden, in der die Zeitdilatation ein wesentliche Rolle spielt - ein Effekt der der klassischen Mechanik ja gerade widerspricht. Hier hat man einfach nur Glück, dass der klassische Impuls p = mv der räumlichen Komponente des relativistischen Impulses p = γmv so ähnlich sieht. Das Gedankenexperiment ist also eher eine Plausibelmachung als eine Herleitung.
Aber was will man machen? Die SRT beruht nunmal auf dem fundamental abgeänderten Zeitbegriff als Komponente einer vierdimensionalen Raumzeit. Die Mechanik dieser Raumzeit lässt sich also nur im Viererformalismus exakt beschreiben. Wenn man diesen Formalismus partout vermeiden will, wird wohl nie mehr dabei herauskommen als ein Zurechtgeknaube Newtonscher Ausdrücke - von eleganten Herleitungen ganz zu schweigen.
Vielleicht überlegst du dir’s ja nochmal. Hier noch etwas Lesestoff (insbesondere Kapitel 2.3):
http://www.itp.uni-bremen.de/~noack/masse.pdf
Gruß
Oliver