Sers
Ich sitze hier grade über ner Kurvenschar, ahb auch schon alle Teilaufgaben gemeistert, jedoch bei zweien komm ich einfach nicht auf einen grünen Zweig.
fa(x) = x^2 +ax +a^2 +a
Erste Teilaufgabe: Man soll zeigen, dass es eine Gerade gibt, die mit jeder Kurve nur einen Berührpunkt hat und sie berechnen.
Zweite Teilaufgabe: Wo schneiden sich auf der y-Achse Kurvenpaare, die zueinander achsensymmetrish sind?
Weiß jemand, wie man diese beiden Teilaufgaben löst? (Hab jetzt bestimmt schon zig Ansätze versucht, doch entweder 0=0 raus oder unterbestimmte Gleichungen)
Thx for response
Hallo,
fa(x) = x^2 +ax +a^2 +a
Erste Teilaufgabe: Man soll zeigen, dass es eine Gerade gibt,
die mit jeder Kurve nur einen Berührpunkt hat und sie
berechnen.
Berührpunkt = Punkt mit Tangente.
Dazu brauchst du die Ableitung von f_a und kannst damit allgemein die Tangente in x0 an f aufstellen. Und dann musst du nur noch zeigen dass sie Tangente und f nicht noch mal berühren - für jedes x0.
Zweite Teilaufgabe: Wo schneiden sich auf der y-Achse
Kurvenpaare, die zueinander achsensymmetrish sind?
Achsensymmetrie: f(x) = f(-x)
einsetzen:
x^2 + ax + a^2 + a = x^2 - ax + a^2 + a.
=> a = 0
Es gibt also nur ein f_a das Achsensymmetrisch ist, und das ist für a=0. Meine ich zumindest. Wie kann man dann von achsensymmetrischen Kurvenpaaren sprechen?
oder geht es um Symmetrie zu einer beliebigen Achse?
fragt sich
Moritz
Berührpunkt = Punkt mit Tangente.
Dazu brauchst du die Ableitung von f_a und kannst damit
allgemein die Tangente in x0 an f aufstellen. Und dann musst
du nur noch zeigen dass sie Tangente und f nicht noch mal
berühren - für jedes x0.
Ähm, Ansätze hab ich mehr als genug probiert, u.a. auch diesen und er hat nicht wirklich funktioniert, da das ganze nur zu unterbestimmten GLeichungen geführt hat (falls ich mich irre lass ich mich gern vom Gegenteil überzeugen)
Achsensymmetrie: f(x) = f(-x)
einsetzen:
x^2 + ax + a^2 + a = x^2 - ax + a^2 + a.
=> a = 0
Das ist der einzige Graph, der achsensymmetrisch zum KOSY ist, der war (das is nicht böse gemeint, ehrlich) nicht gesucht.
Es gibt also nur ein f_a das Achsensymmetrisch ist, und das
ist für a=0. Meine ich zumindest. Wie kann man dann von
achsensymmetrischen Kurvenpaaren sprechen?
Ein Beispiel: Die Geraden y=x und y=-x wäre zu einander achsensymmetrisch, auf die gleiche Weise muss es anscheinend auch Kurven dieser Schar geben, die zu einander achsensymmetrisch sind.
=> a = 0
Das ist der einzige Graph, der achsensymmetrisch zum KOSY ist,
der war (das is nicht böse gemeint, ehrlich) nicht gesucht.
Ok, hast Recht.
anschaulich: der Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel, um a/2 nach links verschoben. Rein anschaulich glaube ich nicht dass es zu einer anderen Achse als zur x=-a/2 - Geraden symmetrisch sein kann - oder irre ich mich?
Und wenn nein: reicht dir das als Ansatz? dann musst du noch f(-a/2-x)=f(-a/2+x) lösen…
Tja, hab leider die Aufgabe nicht mehr vor mir, ich weiß nicht mehr die genaue Formulierung. Die Aufgabe mit den Kurvenpaaren ist dabei auch gar nicht so wichtig, mir geht es viel mehr um die Gerade. Es ärgert mich einfach, dass ich eine im Prinzip einfache Aufgabe nicht lösen kann, wahrscheinlich nur weil ich irgendwas einfaches nicht sehe oder aufm Schlauch steh
Da hier anscheinend jeder meint, ich würd hier meine Hausaufgaben machen lassen, dann präsentier ich eben meine bisherigen Ansätze:
Fa(x)=x^2+ax+a^2+a
y=mx+t
ok, m=2x+a
Der allgemeine Berührpunkt B hat die Koordinaten (xb|yb)
Folglich gilt:
xb^2+axb+a^2+a=(2xb+a)xb+t
die gleichung nach xb aufgelöst ergibt: xb=(a^2+a-t)^0,5
Tja, und wie weiter???
Ein anderer Ansatz wäre:
x^2+ax+a^2+a=mx+t
x^2+(a-m)x+a^2+a-t
Mitternachtsformel: x=0,5*[(m-a)±((a-m)^2-4*1*(a^2+a-t))]
Und da es ja nur eine Lösung geben darf muss die Diskriminaten null sein
–> (a-m)^2 -4a^2+4a-4t = 0
Tja, und wie gehts hier weiter???
Hallo,
fa(x) = x^2 +ax +a^2 +a
Erste Teilaufgabe: Man soll zeigen, dass es eine Gerade gibt,
die mit jeder Kurve nur einen Berührpunkt hat und sie
berechnen.
Genau einen oder mindestens einen?
Vorschlag:
Spezifizier doch einfach mal zwei Kurven, z.B: f0(x) und f1(x).
An den Stellen der jeweiligen Berührpunkte muss gelten, dass die Steigungen dort gleich sind und zwar gleich der Steigung der Geraden:
(1) 2x0 = 2x1 + 1 = m
Außerdem müssen die Berührpunkte auf einer Geraden liegen, deren Steigung ebenfalls gleich m ist:
(2) (f1(x1)-f0(x0))/(x1-x0) = m
Damit hast du zwei Gleichungen für die zwei Unbekannten x0 und x1 und du kannst damit letztendlich auch die Geradengleichung aufstellen.
Man erhält:
y = -7/2*x - 49/16
Gruß
Oliver
Genau einen oder mindestens einen?
Genau eine
y = -7/2*x - 49/16
Dieses Ergebnis ist leider falsch, das korrekte lautet y=-x-0,25 , soviel weiß ich. Trotzdem danke für den versuch
Hallo
Eine grobe Rechnung ergibt bei mir, dass die Lösung y=-x-0.25 zum Beispiel f1 verfehlt.
Die Zahlen von Oliver dagegen kommen mir bekannt vor, ich habe leider die Notizen nicht bei mir (habe sie beseite gelegt, um alles in Ruhe nochmals nachzurechnen).
Gruss Urs
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
Hallo.
Dieses Ergebnis ist leider falsch, das korrekte lautet
y=-x-0,25 , soviel weiß ich.
Wie Urs schon schrieb, kann diese Lösung nicht stimmen, weil die Kurve f1 z.B. verfehlt wird.
Mittlerweile glaube ich, dass es so eine Gerade überhaupt nicht gibt.
Beweis:
Die Gerade y = -7/2*x - 49/16 ist die einzige Gerade, die die Kurven f0 und f1 in jeweils genau einem Punkt berührt. Diese Gerade ist also die einzige die überhaupt in Frage kommt. Sie verfehlt aber z.B. die Kurve f(-1).
Also kann es keine Lösung geben.
Gruß
Oliver
Hallo,
Da hier anscheinend jeder meint, ich würd hier meine
Hausaufgaben machen lassen, dann präsentier ich eben meine
bisherigen Ansätze:
ich probiers nochmal, aber keine Garantie…
Fa(x)=x^2+ax+a^2+a
y=mx+t
ok, m=2x+a
Der allgemeine Berührpunkt B hat die Koordinaten (xb|yb)
Folglich gilt:
xb^2+axb+a^2+a=(2xb+a)xb+t
die gleichung nach xb aufgelöst ergibt: xb=(a^2+a-t)^0,5
Hm, du schiesst ein Bisschen an deinem Ziel vorbei. Wenn du einen Berührpunkt bei x=xb haben willst, lautet der allgemeine Berührpunkt (xb|Fa(xb)).
Dann hast du
xb^2 + a xb + a^2 + a = (2xb + a) xb + t.
Soweit hast du’s auch. Aber wiso löst du nach xb auf? das ist doch beliebig.
Deine einzige Unbekannt ist bisher t, also musst du t bestimmen:
t = -xb^2 + a^2 + a
(hoffe ich hab mich nicht verrechnet, bin grade etwas müde…)
d.h. deine Berührgerade lautet:
y = m x + t = (2xb + a) x + (-xb^2 + a^2 + a)
Und jetzt musst du schauen ob es für die Gleichung
F(x) = y(x) noch eine andere Lösung als xb gibt.
Wenn ja musst du noch überprüfen ob sich die Geraden an der Stelle tatsächlich nur berühren und nicht schneiden, d.h. ob die Ableitungen an dieser Stelle gleich sind.
Kommst du damit weiter?
HTH,
Moritz
Dann hast du
xb^2 + a xb + a^2 + a = (2xb + a) xb + t.
Soweit hast du’s auch. Aber wiso löst du nach xb auf?
Weil ich gehofft habe, auf diesem Weg die Ortslinie der Berührpunkte zu ermitteln, welche ja die gesuchte Gerade sein muss
y = m x + t = (2xb + a) x + (-xb^2 + a^2 + a)
Und wenn man das noch ein wenig umformt, steht wieder xb^2 + axb +a^2 +a da
Kommst du damit weiter?
Wie gesagt, nicht wirklich. Aber trotzdem danke, ihr habt mir gezeigt, dass diese Aufgabe doch nicht ganz so einfach zu sein scheint und ich nicht völlig verblödet bin. Thx
Aber trotzdem danke, ihr habt mir
gezeigt, dass diese Aufgabe doch nicht ganz so einfach zu sein
scheint und ich nicht völlig verblödet bin.
Wie gesagt: die Aufgabe hat auch keine Lösung.
(siehe oben)
Gruß
Oliver