'einfache' Wahrscheinlichkeitsrechnung ?!?

Wissenschaft Physik
1

Hallo,

habe ein Problem : Lerne gerade für meine Klausur und habe da etwas auf den ersten Seiten meiner Aufzeichnungen gelesen, das mich echt stutzig macht :

"Würfeln mit einem Würfel bis zum ersten Mal eine 6 auftritt :
Ergebnis : Anzahl k der Würfe
Ergebnismenge Omega = {1,2,3,4,___} u {unendlich}

Wkeit für nur einen notwendigen Wurf : 1/6
für genau 2 : 5*1/6*6 = 5/36
für genau 3 : 5*5*1/6*6*6 = 5^2/6^3"

hab ich da jetzt nen Blackout ?
Das angegebene ist doch die WKeit, das ich genau eine 6 würfel bei k Würfen und nicht wie im text angegeben die WKeit bis zum ersten mal eine 6 auftritt, oder ?

Bitte helft mir, ich dachte eigentlich das ich Wkeits-rechnung zumindest doch in den grundzügen gut verstehe… :frowning:

2

Fragestellung…
Hallo Claudi,

ich glaube, es ist ein Problem der Fragestellung…

Wkeit für nur einen notwendigen Wurf : 1/6
für genau 2 : 5*1/6*6 = 5/36
für genau 3 : 5*5*1/6*6*6 = 5^2/6^3"

hab ich da jetzt nen Blackout ?
Das angegebene ist doch die WKeit, das ich genau eine 6 würfel
bei k Würfen

richtig!

und nicht wie im text angegeben die WKeit bis zum
ersten mal eine 6 auftritt, oder ?

Das „zum ersten Mal“ macht die Frage falsch gestellt.
Man muß irgendetwas mehr oder anderes sagen.

Z.B.:
Statt „WKeit“ steht „durchschnittliche Anzahl der Würfe“, also:
Wieviele Würfe mache ich durchschnittlich, bis ich eine 6 erwürfele?

Das kann ich berechnen, nämlich:
die Ws., daß k=1 ist, ist 1/6
die Ws., daß k=2 ist (d.h. genau beim 2. Wurf gibt’s die 6), ist 5/6 * 1/6
…
die Ws., daß genau beim k-ten Wurf die 6 kömmt, ist (5/6)^{k-1} * 1/6

Dann ist die durchschnittliche Anzahl, bis ich eine 6 erwürfele,
also der Erwartungswert, gleich
1 * 5/6 * 1/6 + 2 * (5/6)^2 * 1/6 + 3 * (5/6)^3 * 1/6 + …
= (Formelsammlung etc.) = 5

Durchschnittlich der 5. Wurf ist eine 6.

Das soll nur eine Illustration sein, wie die Frage heißen könnte.

Frohes nächtliches Lernen!
Stefan

Bitte helft mir, ich dachte eigentlich das ich Wkeits-rechnung
zumindest doch in den grundzügen gut verstehe… :frowning:

3

Das angegebene ist doch die WKeit, das ich genau eine 6 würfel
bei k Würfen und nicht wie im text angegeben die WKeit bis zum
ersten mal eine 6 auftritt, oder ?

Das ist in diesem Fall dasselbe. Am Anfang steht

"Würfeln mit einem Würfel bis zum ersten Mal eine 6 auftritt :

Das bedeutet, daß der Wurf n, bei dem zum ersten mal eine 6 auftritt, auch gleichzeitig die Anzahl k der Würfe ist, bei denen genau eine 6 gewürfelt wurde.

4

Danke erstmal,

Dann ist die durchschnittliche Anzahl, bis ich eine 6
erwürfele,
also der Erwartungswert, gleich
1 * 5/6 * 1/6 + 2 * (5/6)^2 * 1/6 + 3 * (5/6)^3 * 1/6 +
…
= (Formelsammlung etc.) = 5

Durchschnittlich der 5. Wurf ist eine 6.

kannst Du mir die Rechnung nochmal genauer erklären ?

5

Hallo Claudi,

Dann ist die durchschnittliche Anzahl, bis ich eine 6
erwürfele,
also der Erwartungswert, gleich
1 * 5/6 * 1/6 + 2 * (5/6)^2 * 1/6 + 3 * (5/6)^3 * 1/6 +
…

ich hab da 'nen kleinen Fehler gemacht,
es muß erstmal heißen:
1 * 1/6 + 2 * 5/6 * 1/6 + 3 * (5/6)^2 * 1/6 + …

(beachte die 5/6)

Das, was ich also hinschrieb, soll folgendes heißen:
Die Ws., beim 1. Wurf eine 6 zu werfen (und dann aufzuhören), ist - ganz einfach - gleich 1/6
Die Ws., beim 2. Wurf eine 6 zu werfen, heißt also, beim 1. Wurf keine 6 zu werfen (also: 5/6 ) und dann beim 2. Wurf die 6 zu bekommen (also: 1/6)

  • deshalb steht 5/6 * 1/6 da.
    usw.

So. Wenn ich nun ausrechnen möchte, wieviele Würfe ich im Durchschnitt brauche, um eine 6 zu bekommen, muß ich jeden möglichen Wert (also: von 1 bis unendlich) mit der dazugehörigen Ws. multiplizieren und alles aufsummieren. (Stichwort: Erwartungswert). Die möglichen Werte sind von 1 bis unendlich (und nicht etwa von 1 bis 6), weil es um die Anzahl der Würfe geht und nicht um die Augen.

Die durchschnittliche Wurfanzahl ist die (korrigierte) Summe oben.

Bis hierher ist alles Nachdenken und Überlegen gewesen. Ab jetzt geht es nur noch darum, diese Summe auszurechnen - reine Technik.

Der mathematische Ausdruck oben hat etwas mit einer geometrischen Reihe zu tun.
Jeder Summand ist von der Form

k * (5/6)^{k-1} * 1/6

und k läuft von 1 bis unendlich. Mein Trick ist, dieses Reihenglied als
Ableitung aufzufassen. Statt 5/6 sage ich mal x, dann habe ich

k * x^{k-1} * 1/6 = 1/6 * ( x^k )’

Also ist die obige Summe gleich einer Ableitung einer einfacheren Summe:

1/6 * ( x + x^2 + x^3 + … )’

Die einfache Summe ist jetzt eine richtige geometrische Reihe ohne die erste 1.
Es ist aber

1 + x + x^2 + x^3 + … = 1/(1-x)

->

x + x^2 + x^3 + … = 1/(1-x) - 1

also ist die obige Summe gleich

1/6 * ( 1/(1-x) - 1)’

ich rechne die Ableitung aus (Vorzeichen!!)

1/6 * 1/(1-x)^2

für x habe ich das gehabte 5/6, also ist

1/6 * 1/(1/36) = 6

(und nicht 5, was mir eh komisch vorkam, aber nachts um zwei ist vieles grau)

Die Antwort ist, ich brauche im Durchschnitt 6 Würfe, um eine 6 zu erwürfeln.

Gruß
Stefan

6

Es geht hier aber schon um die Reihenfolge. Deswegen ist das nicht dasselbe, denn die W’kei, bei k Würfen genau eine 6 zu würfeln, ist ja k*(1/6)*(5/6)^(k-1).

Tyll