Wieder einmal erfahre ich schmerzlich, daß ich in Statistik besser hätte aufpassen sollen. Ich scheitere an diesem einfachen Problem:
Es gibt 2 unterschiedliche Lose (A bzw. B). Je zwei Lose liegen in einer Urne, wobei beide Lose unabhängig voneinander gleichverteilt in den Urnen vorliegen. Der Inhalt einer Urne kann also sein: AA, AB oder BB. Der Anteil von A bzw. B an der Gesamtmenge der Lose (in allen Urnen) wird in einer Stichprobe vom Umfang n bestimmt. Der Anteil A sei p und der Anteil B sei q = 1-p.
Wenn ich nun irgendeine Urne rausgreife, wie hoch ist dann die Wahrscheinlichkeit, AA, AB oder BB zu finden ? Das ist sicher banal, aber ich habe da eine Blockade…
Mein Tip: AA: p²; AB: 2pq; BB: q². Stimmt das ? Wenn ja, warum ?
Mein Tip: AA: p²; AB: 2pq; BB: q². Stimmt das ? Wenn ja, warum?
Das stimmt, wenn die Zahl der Lose unendlich groß ist. Dann nämlich sind die Einzelwahrscheinlichkeiten p und q unabhängig voneinander und die Gesamtwahrscheinlichkeiten ergeben sich als Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten. Demnach ist die Wahrscheinlichkeit für die Kombination AA p2, für BB q2 und für AB und BA jeweils pq. Weil AB und BA nicht unterschieden werden, kann man ihre Wahrscheinlichkeiten zu 2pq zusammanfassen.
Um zu überprüfen, ob das auch stimmt, kann man diese Wahrscheinlichkeiten addieren und erhält p2+(1-p)2+2p(1-p)=1. Wie zu erwarten war wird man auf jeden Fall eine der drei Möglichkeiten erwischen.
Das stimmt, wenn die Zahl der Lose unendlich groß ist.
Wovon man leider nicht immer ausgehen kann. Gibt es tatsächlich nur endlich viele Lose, dann liegt aber ein endliches Bernoulli-Experiment ohne Zurücklegen vor.
Da p von n unabhängig (also die W’keit für das Auftreten von A für alle n dieselbe) sein soll gilt für alle n
P(A) = np/n
P(B) = nq/n = 1-np/n
Da ein Los schon gezogen wurde ergibt sich W’keit demnach als
P(A,A) = np(np-1)/n(n-1)
P(B,B) = n(1-p)/n * (n(1-p)-1)/(n-1) = (1-p)2-1/n
P(A,B) = np/n * n(1-p)/(n-1) = P(B,A) = np/(n-1) * n(1-p)/n = n/(n-1)p - n/(n-1)p2
Tatsächlich ist nun so, daß du und Mr. Stupid recht habt: Für n->oo ergeben sich zwar krumme Werte für np oder nq, aber es gilt:
P(A,A)-> p2
P(B,B)-> (1-p)2
P(A,B)-> p-p2
