Wie löst man dies mathematisch korrekt, nicht durch probieren
Die Summe dreier Ziffern x+y+z=15
Die größte Zahl die man aus den drei Ziffern aufbauen kann ist um 396 größer als die kleinste die aus diesen drei Ziffern aufgebaut werden kann.
Lösung???
Hallo Gerd,
das scheint mir nicht ganz so einfach zu sein, wie es sich anhört, aber ich probiere es mal:
Wie löst man dies mathematisch korrekt, nicht durch probieren
Die Summe dreier Ziffern x+y+z=15
o.k., das wäre zunächst eine Gleichung mit 3 Unbekannten
Dabei ist auch noch nicht klar, ob x, y und z verschieden sein müssen.
Der Wertebereich ist also auf die Ziffern 0-9 beschränkt
Die größte Zahl die man aus den drei Ziffern aufbauen kann ist
um 396 größer als die kleinste die aus diesen drei Ziffern
aufgebaut werden kann.
daraus ergibt sich, daß mindestens 2 Ziffern verschieden sein müssen, da sonst größte und kleinste Zahl gleich wären. Ohne Beschschränkung der Allgemeinheit (wie der Mathematiker so schön sagt) nehme ich an, daß x die größte und z die kleinste Ziffer ist. Es gilt dann z 99x - 99z = 396
-> x - z = 4
-> z = x -4
in die 1. Gleichung eingesetzt ergibt sich
x + y + x - 4 = 15
-> y = 19 - 2x
tja und jetzt komme ich nur noch mit einer Fallunterscheidung weiter. Wenn x = y oder z = y zulässig ist, gibt es 5 Fälle:
Diese Gleichungen setze ich jeweils in die darüber ein und es ergibt sich
Nur Fall 3 ergibt eine ganzzahlige Lösung, also gilt
y = 5, x = 7 und z = 3 ( einzig mögliche Lösung)
753 - 357 = 396
Jörg
Hallo Jörg
Vielen Dank für Deine nächtliche Mühe. Ich habe auch einige Stunden damit zugebracht
Der Ansatz in dieser Art stellt auch meiner Meinung nach die bislang einzige Möglichkeit dar.
Die Aufgabe ist aus einem Schulbuch für Neuntklässler.
Scheint ein Training für die nächste PISA-Studie zu sein.
Bin mal gespannt ob sich noch jemand Gedanken dazu macht.
Bis demnächst
Gruß Gerd
off topic: Pisa für BWL-Studenten
Die Aufgabe ist aus einem Schulbuch für Neuntklässler.
Scheint ein Training für die nächste PISA-Studie zu sein.
Hallo Gerd,
deine Aufgabe, zumindest mit dem Ansatz hauptsächlich mathematisch und nicht probieratisch zu lösen, scheint mir um Klassen schwieriger zu sein, als zwei Pisa-Aufgaben die testhalber BWL-Studenten beim Vordiplom vorgesetzt wurden.
Bei deiner Aufgabe hätten m.E. mehr als 34 bzw 43 % versagt.
Die 2 Fragen und ein Bericht stehen hier:
http://www.spiegel.de/unispiegel/studium/0,1518,1925…
oder auch hier im Anhang dieses Postings.
Gruß
Reinhard
Die erste Aufgabe
Sie werden beauftragt, einen neuen Satz von Münzen zu entwerfen. Alle Münzen sollen rund und silberfarben sein, aber verschiedene Durchmesser haben. Forscher haben herausgefunden, dass ein idealer Satz von Münzen folgende Anforderungen erfüllt:
Der Durchmesser sollte nicht kleiner als 15 Millimeter und nicht größer als 45 Millimeter sein.
Ausgehend von einer Münze muss der Durchmesser der nächsten Münze mindestens 30 Prozent größer sein.
Die Prägemaschine kann nur Münzen herstellen, deren Durchmesser in Millimeter ganzzahlig ist.
Entwerfen Sie einen Satz von Münzen, der die oben genannten Anforderungen erfüllt. Beginnen Sie mit einer 15-Millimeter-Münze. Der Satz sollte so viele Münzen wie möglich enthalten.
Die zweite Aufgabe
Ein Marktforschungsinstitut hat festgestellt, dass der Bekanntheitsgrad eines Produktes (Personen, die das betreffende Produkt kennen) von den Werbeaufwendungen abhängt, wenn diese größer als 50.000 Euro sind. Der Zusammenhang zwischen dem Bekanntheitsgrad und den Werbeaufwendungen kann mit folgender Formel annähernd bestimmt werden:
N = 10.000 mal Wurzel aus (W - 50.000),
für W größer gleich 50.000,
wobei N die Zahl derjenigen Personen angibt, die das Produkt kennen, und W die Werbeaufwendungen in Euro.
a) Berechnen Sie den Bekanntheitsgrad bei einem Werbeaufwand von 300.000 Euro!
b) Man hat einen Bekanntheitsgrad von sechs Millionen festgestellt. Wie hoch ist der dazugehörige Werbeaufwand?
Hallo,
sehr aufschlussreich ist auch das Statement vom Spiegel zur 2. Aufgabe:
Weil inzwischen etliche SPIEGEL ONLINE-Leser sich ratlos gemeldet (und manche völlig andere Zahlen errechnet) haben, hier die Lösungen mitsamt Rechenweg:
Wo war bei der Aufgabe die Schwierigkeit? Das Umstellen der Formel und das Auflösen zur Unbekannten habe ich auch als absolute Mathenull geschafft. Sehr bedenklich…
Grüße
Martin
P.S.: Nein, ich hab’ mir die Lösungen nicht vorher angeschaut.
Hallo,
Die Aufgabe ist aus einem Schulbuch für Neuntklässler.
Scheint ein Training für die nächste PISA-Studie zu sein.
Ich fände das bei unserem Unterricht in der neuten Klasse ziemlich schwer.
Die Aufgaben von Reinhard hingegen finde ich ziemlich billig. Würden sehr viele (denke ich) lösen können. Das liegt nämlich daran, dass diese Aufgaben in ein Schema reinpassen, das in den Schulen gelehrt wird. Bei Allem, was ausserhalb von solchen Aufgaben liegt, fällt der Ansatz dermassend schwer, dass selbst Rechenbegabte nicht durchsteigen weil sie sich nicht Alternativen ausdenken können.
Grüsse
Andreas
Bin mal gespannt ob sich noch jemand Gedanken dazu macht.
Hier! 
Die beiden Gleichungen von Jörg waren:
1.) z = x - 4
2.) y = 19 - 2 x
wobei die Nebenbedingungen
0 19 -4
1 17 -3
2 15 -2
3 13 -1
4 11 0
5 9 1
6 7 2
7 5 3
Man sieht sofort, daß y erst für x>=5 zulässige Werte annimmt. Und mit einem zweiten Blick erkennt man, daß nur die Zeile mit dem Pfeil auch die Bedingung z
Hi.
OK, bis zu den Gleichungen
x - z = 4 und x+y+z=15 gehe ich genauso vor.
Dann aber:
x = z + 4
in die andere Gleichung einsetzen:
2z+y=11
Daraus ergibt sich, dass y ungerade sein muss und z y laut Vorraussetzung
2 | 7 | 6 dito
3 | 5 | 7 einzige Moegliche Loesung.
4 | 3 | 8 faellt weg, da y > z laut Vorraussetzung
5 | 1 | 0 faellt weg, da x > y laut Vorraussetzung
CU,
Sebastian.
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