Einfaches unbestimmtes Integral

Wissenschaft Physik
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was ist denn :
f(x) = int(sin^3,x)
also das unbestimmte Integral von Sinus hoch drei x dx?

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was ist denn :
f(x) = int(sin^3,x)
also das unbestimmte Integral von Sinus
hoch drei x dx?

Ja, denke ich auch, besser lesbar währe vielleicht:

f(x)=Int (sin^3(x)) dx

Drago

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was ist denn :
f(x) = int(sin^3,x)
also das unbestimmte Integral von Sinus
hoch drei x dx?

Für dieses Integral gibt es zwei Lösungen, die zwar unterschiedlich aussehen, jedoch sind beides exakte Lösungen:

  1. Lösung: (sin^3(x)) = 1/4 (3*sin(x) - sin(3*x)) => int(sin^3(x)) dx = 1/4 * int(3*sin (x) - sin(3*x) dx) = 3/4 int(sin(x)) dx) - 1/4 int(sin(3*x) dx) = - 3/4 * cos(x) + 1/12 * cos(3*x) + C

  2. Lösung: (sin^3(x)) = (sin(x) * (sin^2(x)) => mit sin^2(x) = 1 - cos^2(x)

int(sin^3(x) dx) = int(sin(x) * (1 - cos^2(x) dx) = int(sin(x) - sin(x)*cos^2(x) dx) = -cos (x) - int(sin(x) * cos^2(x) dx)
N.R.
int(sin(x) * cos^2(x) dx) => Substitution

z = cos(x) dz/dx = -sin(x) => dx = dz / -sin(x)

=> int( sin(x) * z^2 * (dz / -sin(x)) = -int(z^2 dz) = 1/3 * z^3 + C

=> G(x) = -1/3 * cos^3(x) + C

=>int(sin^3(x) dx) = -cos(x) + 1/3 * cos^3(x)) + C

Wie du siehst, zwei verschiedene Lösungen.

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Es kann nur eine(n) geben!?
Ich habs nicht gerechnet, aber: Eine stetige und ueberall definierte Funktion hat zwar unendlich viele Stammfunktionen, die sich aber nur durch eine Konstante unterscheiden. Diese „zwei exakten“ Loesungen sind, falls du dich nicht verrechnet hast, zwei davon. Dass sie unterschiedlich aussehen, kann schon sein, macht sie aber nicht zu unabhaengigen Loesungen.

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Beide von Dir gegebenen Lösungen sind absolut identisch, man kann sogar die Integrationskonstante C gleich wählen. Die Lösungen lassen sich mittels einfacher Additionstheoreme ineinander überführen. Ich habe auch noch eine weitere Variante für die Lösung:

-cos(x)*((sin^2(x)/3)+2/3))

Gruß
Ted

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