Hallo Thomas,
Ein Studienkollege hat mir die Mitschrift vom vorjahr gegeben…
mhh, dann kannst Du mir wohl nicht sagen, wer der Urheber der Formel ist?
und ich glaub das er sich geirrt hat und ein + statt
eines * geschrieben hat…
So wird es gewesen sein.
Aber eine Frage hab ich noch :
sqrt( sqrt(5)² * sqrt(10)² - 1)
was ich bei der formel jedoch nicht verstehe… ist wieso bei
a²*b² der betrag der vektoren quadriert und dann multipliziert
wird, aber bei a*b die vektoren an sich multipliziert werden,
also das skalareprodukt berechnet wird und nicht der betrag
von vektor a und vector b multipliziert wird?
Na ja, das Skalarprodukt a> * b> der Vektoren a> und b> ist einfach was anderes als das Produkt a b der Beträge dieser Vektoren, oder etwa nicht? Es gilt ja:
a> * b> = a b cos(phi)
wobei phi := von a> und b> eingeschlossener Winkel
Da a> * a> allerdings dasselbe ist wie a², wirst Du „a> * a>“ üblicherweise nie in einer Formel vorfinden, sondern immer das kürzere und einfachere „a²“.
Nun erkläre ich Dir aber noch, was es mit der Formel „A = sqrt(a² b² + a> * b>:wink:“ auf sich hat, und warum es eigentlich „unmöglich“ ist, daß die in Deinen Aufzeichung steht.
Der Flächeninhalt eines Parallelogramms ist allgemein gegeben durch
A = |a\> × b\>| ("×" für Kreuzprodukt, "|...|" = Betrag)
oder
A = a b sin(phi)
Für Vektoren in der xy-Ebene (a3 = b3 = 0) vereinfacht sich die erste Gleichung zu (bitte selbst nachrechnen)
A = |a1 b2 - a2 b1|
was Du auch als Determinante ausdrücken kannst
( a1 b1 )
A = det ( )
( a2 b2 )
Den Ausdruck „|a1 b2 - a2 b1|“ stellen wir nun etwas anders dar, und zwar so:
A = sqrt((a1 b2 - a2 b1)²)
Vergleichen wir dies mit Deiner Formel „A = sqrt(a²b² + a> * b>:wink:“. Wenn diese Formel wirklich ebenfalls allgemein die Fläche eines Parallelogramms angeben würde, müßte stets (d. h. für alle a>, b>:wink: gelten
(a1 b2 - a2 b1)² = a²b² + a\> \* b\>
Kann das sein? Wir wollen es überprüfen. Ausquadrieren der linken Seite, und Auflösen von „a² b²“ sowie des Skalarprodukts auf der rechten führt auf
a1²b2² - 2 a1 b2 a2 b1 + a2²b1² = (a1² + a2²) (b1² + b2²) + a1 b1 + a2 b2
Die Klammer auf der rechten Seite lösen wir auf:
a1²b2² - 2 a1 b2 a2 b1 + a2²b1² = a1²b1² + a2²b1² + a1²b2² + a2²b2² + a1 b1 + a2 b2
a1²b2² und a2²b1² subtrahieren sich auf beiden Seiten weg:
- 2 a1 b2 a2 b1 = a1²b1² + a2²b2² + a1 b1 + a2 b2
Subtraktion von a1²b1² + a2²b2² auf beiden Seiten führt auf
- a1²b1² - 2 a1 b2 a2 b1 - a2²b2² = a1 b1 + a2 b2
a1²b1² + 2 a1 b2 a2 b1 + a2²b2² = - (a1 b1 + a2 b2)
Die linke Seite können wir als Quadrat darstellen:
(a1 b1 + a2 b2)² = -(a1 b1 + a2 b2)
a1 b1 + a2 b2 ist gerade das Skalarprodukt a> * b>. Mit s := a> * b> = a1 b1 + a2 b2 folgt:
s² = -s
Diese Gleichung hat genau zwei Lösungen, nämlich
s = 0 und s = -1
Damit haben wir herausgefunden, daß Deine Formel „A = sqrt(a²b² + a> * b>:wink:“ nicht allgemein gilt, sondern nur dann, wenn das Skalarprodukt a> * b> entweder gleich Null oder gleich –1 ist. Aus diesem Grund ist diese Formel einfach Nonsens. In Deiner Aufgabe ist „zufällig“ tatsächlich a> * b> = –1, und nur deshalb liefert sie das korrekte Ergebnis A = 7.
Du solltest also in Deinen Aufzeichnungen hinter „A = sqrt(a²b² + a> * b>:wink:“ schreiben:
„aber nur falls a> * b> = 0 oder a> * b> = –1 ==> was soll der Quatsch?“
und dann alles dick durchstreichen.
Wenn Du noch Fragen hast, stelle sie hier.
Mit freundlichem Gruß
Martin