ZIEL: Ich will von cos45° auf den Ausdruck 1/2 * Wurze(2) kommen. Und zwar genau diesen Ausdruck und nix anderes ;o)
Im Einheitskreis kann ich folgendes mit dem Pythagoras rechnen:
im Einheitskreis gilt: sin^2alpha + cos^2alpha = 1
da bei 45° sin und cos gleich sind kann ich auf folgendes schreiben:
cos^2alpha + cos^2alpha = 1
2cos^2alpha = 1
für alpha 45° einsetzen:
2cos^2 45° = 1
cos^2 45° = 1/2
cos 45° = Wurzel(1/2)
Da aber in den Tabellen zum Einheitskreis immer „1/2 * Wurzel(2)“ steht, interessiert es mich wie „Die“ darauf kommen. Mir ist klar, dass Wurzel(1/2) = 1/2 * Wurzel(2) ist, nur eben nicht wie man „dahin“ kommt.
ZIEL: Ich will von cos45° auf den Ausdruck 1/2 * Wurze(2)
kommen. Und zwar genau diesen Ausdruck und nix anderes ;o)
ok, aber dabei ist wohl ein Fehler unterlaufen:
Im Einheitskreis kann ich folgendes mit dem Pythagoras
rechnen:
im Einheitskreis gilt: sin^2alpha + cos^2alpha = 1
Stimmt.
da bei 45° sin und cos gleich sind kann ich auf folgendes
schreiben:
cos^2alpha + cos^2alpha = 1
2cos^2alpha = 1
Nur als Anstoss: cos x == +/- Wurzel(1-sin²x)
Auch bekannt als ‚Zusammenhang der Funktionswerte bie gleichen Winkel‘
ISBN 3-446-21048-2 Buch anschauen Seite 410
Hi,
Du musst nur weiter rechnen. Wurzel(1/2)=Wurzel(1)/(Wurzel(2)=1/Wurzel(2). Diesen Bruch musst du jetzt mit Wurzel(2) erweitern. Dann steht da
(1/2)*Wurzel(2) genau wie in deinem Tabellenbuch. Ich bevorzuge aber eigentlich deine Formel.
danke. Das ist wohl des Rätsels Lösung. Keine Ahnung warum es in der Tabelle dann „etwas umständlicher“ dasteht. Wahrscheinlich gibt es noch einen anderen Lösungsweg mit welchem man direkt ohne „Weiterrechnen“ auf 1/2 * wurzel(2) kommt. Aber ich brauch das auch nicht zu verstehen. Ich bin jetzt zufrieden!!!
ZIEL: Ich will von cos45° auf den Ausdruck 1/2 * Wurze(2)
kommen. Und zwar genau diesen Ausdruck und nix anderes ;o)
Naja, letztlich mußt Du unter die letzte Zeile nur noch schreiben
cos 45° = Wurzel(1/2)
cos 45° = 1/2 * Wurzel(2)
Oder nimm Pythagoras.
Wenn Du Dir die 45° am Einheitskreis anschaust, siehst Du ein gleichseitiges rechtwinkliges Dreieck mit Hypothenusenlänge 1 und Kathetenlänge cos(45°) [bzw. sin(45°)].
Stell’ Dir vor, Du nimmst 4 solcher Dreiecke und setzt sie zu einem Quadrat zusammen (die 4 rechten Winkel treffen sich in der Mitte).
Mit ‚ASCII-Art‘ ergibt sich leider kein Quadrat, aber das Prinzip wird klar:
4 mal +
|\ | /
|/
Die vier Außenseiten haben die Länge 1 (jeweils der Radius des Einheitskreises. Nach Pythogaras ist Länge der Diagonalen Wurzel(2). Wie Du siehst, setzt sich die Diagonale aus zwei Strecken der Länge cos(45°) zusammen. Also ist einmal cos(45°) gerade die Hälfte von Wurzel(2).
Gruß,
Ralf
Keine Ahnung warum es in der Tabelle dann „etwas umständlicher“ dasteht.
Wurzeln in Nenner von Brüchen zu schreiben, wird in der Mathematik als „verpönt“ angesehen. Deshalb wirst Du in Tabellen immer „1/2 √2“ finden statt „1/√2“.
Sofern keine Wurzelausdrücke als Bestandteile von Summen auftreten oder ähnliche Scherze, kann man „Nennerwurzelfreiheit“ immer leicht erreichen vermöge
1 1
-- <sub>(häßlich)</sub> = -- √x <sub>(schön)</sub> für alle x.
√x x
