wir stehen grade in einer Diskussion, ob die Einheitsmatrix auch eine Elementarmatrix ist. In der Literatur finde ich, dass eine Elementarmatrix aus der Einheitsmatrix mit genau einer elementaren Zeilenoperation hervorgeht. Eine elementare Zeilenoperation ist ja u.a. die Multiplikation der Zeile mit einem Skalar, der ungleich Null ist.
Wenn der Skalar aber 1 ist, dann ändert sich nichts. Also wäre so gesehen, die Einheitsmatrix ja auch eine Elementarmatrix. Was dagegen spricht, wäre IMO, dass man diese Matrix auch mit gar keiner Zeilenoperation herstellen kann (da sich ja eh nichts ändert).
Ich hoffe mal keinen „Käs’“ zu erzählen. Die Einheitsmatrix ist die Basis allen Seins: jede x-beliebige andere Matrix lässt sich durch geschickte Multiplikation und Addition aus ihr erstellen.
Beispiel zum Invertieren einer NxN-Matrix: man stellt die Originalmatrix und die Einheitsmatrix nebeneinender und rechnet auf beiden Seiten solange herum bis die Originalmatrix zur Einheitsmatrix geworden ist. Und statt der Einheitsmatrix hat man nun eine Inverse der Originalmatrix. Beim Scheitern dieses Manövers gibt es keine Inverse.
Ich hoffe mal keinen „Käs’“ zu erzählen. Die Einheitsmatrix
ist die Basis allen Seins: jede x-beliebige andere Matrix
lässt sich durch geschickte Multiplikation und Addition aus
ihr erstellen.
Nur ein klein wenig Käse… Nicht falsch, aber irgendwo überflüssig… Schließlich lässt sich durch geschickte Multiplikation UND Addition jede Matrix in jede andere des gleichen Formats überführen.
Oder meinst du Äquivalenzumformungen? Dann geht das ja eben nicht mit jeder x-beliebigen sondern nur mit jeder anderen invertierbaren des gleichen Formats.
Aber die Einheitsmatrix ist das neutrale Element der Gruppe der invertierbaren Matrizen (GL(n;K)), das ist das Tolle daran.
Und ja, die Einheitsmatrix ist insbesondere eine Elementarmatrix (Wir haben die Elementarmtrizen in 3 Typen behandelt. Die Einheitsmatrix würde einer El-Matrix vom Typ 1 bei uns entsprechen. Das sind die Matrizen, bei denen eine Zeile der Einheitsmatrix mit einem invertierbaren Lambda malgenommen wird. Und 1 ist ja invertierbar). So jedenfalls nach der Definition, die ich vor zwei Jahren bekommen hab. :o)
