Wenn ich eine Spule mit einem Widerstand in Reihe schalte so berechnet sich die Stromstärke mit
I(t)= I. * (1- exp-Rt/L).
Wie leite ich dies her?
Ansatz:
U.= RI + LI’ mit I’= dI/dt und I(0)= 0
Hallo Malila!
Wenn ich eine Spule mit einem Widerstand in Reihe schalte so
berechnet sich die Stromstärke mit
I(t)= I. * (1- exp-Rt/L).
Wie leite ich dies her?
Du hast eine Reihenschaltung aus L und R, die zum Zeitpunkt t=0 mit einer konstanten Spannung U gespeist wird. Mit der Maschenregel ergibt sich folgende Gleichung:
U_r + U_L = U
Die Spannung am Widerstand errechnet sich aus R*i, die Spannung an der Induktivität aus u_L = L*di/dt. Also erhälst du
L*di/dt + R*i = U bzw.
di/dt + (R/L)*i = U
In dieser Differentialgleichung steckt der noch unbekannte Strom i, den du bestimmen möchtest.
Für die homogene Lösung ergibt sich
i_h=C*e^-(R/L)*t
Die partikuläre Lösung kann man durch Variation der Konstanten bestimmen, oder sich einfach überlegen was für t=oo passiert.
Dann stellt sich der Strom I=U/R ein. Also lautet die Lösung
i_p=U/R
Die Gesamtlösung ergibt sich nun aus der Summe von homogener und inhomogener Lösung der Differentialgleichung.
i(t)=U/R + C*e^-(R/C)t
Zum Schluß mußt du noch die Konstante C bestimmen. Dies geschieht durch die Anfangsbedingung. Die Werte sind in die Gleichung einzusetzen und der Ausdruck nach C aufzulösen. Damit ergibt sich die Lösung zu
i(t)=(U/R)*(1-e^-(R/L)t)
Gruß
Michael
Hallo
Also zuerst sucht man EINE Lösung der inhomogenen Gleichung:
U.=RI+LI’=const (Gleichstrom)
Die Lösung ist einfach der maximalstrom I.=const, wie man durch einsetzen feststellt: U.=RI. Stimmt also. (denn I.’=0)
Dann sucht man die allgemeine Lösund der homogenen Gleichung:
0=R/L*I+I’
hier liest man die charakteristische Gleichung: 0=R/L + x ab mit der Nullstelle x0=-R/L. Die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung ist damit:
I=C*exp(x0*t)=C*exp(-R/L*t), mit der noch unbekannten Konstanten C
Die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung ist die Summe aus EINER Lösung der inhomogenen und der allgemeinen Lösung der homogenen Gleichung:
I=I. + C*exp(-R/L*t)
Nun muss man noch C bestimmten, das ergibt sich aus der Anfangsbedingung: I(0)=0. Was in unsrer Gleichung
I=I.+C=0 ergibt. Also ist C=-I.
Ich kann also I. ausklammern und erhalte:
I=I.(1-exp(R/l*t))
Gruß
OLIVER
[Bei dieser Antwort wurde das Vollzitat nachträglich automatisiert entfernt]
L*di/dt + R*i = U bzw.
di/dt + (R/L)*i = U
Schöne Herleitung, allerdings mit einem kleinen Fehler, der aufgrund des Verfahrens nicht ins Endergebnis einspielt:
bzw. di/dt + (R/L)*i = U/L
müsste es heißen. Ist nur der Form halber. Wie schon gesagt, für die Lösung der homogenen Gleichung ist das nicht wichtig!
Gruß Ede