Einsteinsche Summenkonvention

[b_matlab_49ede6]

Was bedeutet eigentlich, dass über doppelt vorkommende Indizes automatisch summiert wird, hat jemand ein anschauliches Beispiel?

[Moritz_fe1b4f]

Hallo,

Was bedeutet eigentlich, dass über doppelt vorkommende Indizes
automatisch summiert wird, hat jemand ein anschauliches
Beispiel?

Wenn du eine Matrix mit den Elementen A_ij hast, und an die einen Vektor b_k daranmultiplizierst, kannst du das als

A_ijb_j

schreiben. Da j zwei mal vorkommt, wird automatisch darüber summiert.

Damit kann man z.B. das Kreuzprodukt in Komponentenschreibweise notieren:

(a x b)_i = ε_ijk a_j b_k

Toll, nicht?

Grüße,
Moritz

[PHvL]

Hallo,

Was bedeutet eigentlich, dass über doppelt vorkommende Indizes
automatisch summiert wird, hat jemand ein anschauliches
Beispiel?

um sich bei Formeln für die Matrix-Multiplikation in Komponenten nicht die Finger wund zu schreiben vereinbart man, dass man das Summenzeichen nicht explizit aufschreibt.

Nehmen wir an, du möchtest den Vektor V mit Komponenten (V^μ) in ein anderes Koordinatensystem transformieren, was durch Multiplikation mit der Transformationsmatrix Λ mit Komponenten (Λ^ν _μ) geschieht. In Komponenten stellt sich dies in der bekannten Art und Weise (`Zeile mal Spalte’) dar:
V’ = Λ V = (Σ^d_μ=0 Λ^ν _μ V^μ)

In der strengen Variante der einsteinschen Summenkonvention lässt man nun das Summenzeichen Σ^d_μ=0 weg und denkt sich fürderhin stets ein solches, wenn ein Index sowohl unten als auch oben vorkommt. Manch einer neigt in euklidischen Räumen dazu, obere und untere Indizes nicht zu unterscheiden und die Summenkonvention entsprechend aufzuweichen. Mit dem Preis, dass dann regelmäßig eine Gleichung auftritt, in der in Worten dahinterstehen muss: `Keine Summation über μ!’

–
Philipp

[b_matlab_49ede6]

Danke für die Beiträge,

habe es verstanden.

Es ist gar nicht so einfach, wenn man versucht, die ganze Tensoralgebra zu verstehen, man kämpft ständig gegen die Indices