Elastizität

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo!

Habe ein Problem mit einer Matheaufgabe. Gegeben ist die Kostenfunktion:
K(x)= 2 + Wurzel(x)

Ich soll nun die Elastizität der Stückkostenfunktion bestimmen. ALso dividiere ich den Term doch mit x

= 2/x + Wurzel(x)/x

Um die Elastizität zu bestimmen muss ich die erste Ableitung dieser Funktion bilden und in folgende allg. Formel einsetzen: f’(x)/f(x) * x

Und daran scheitere ich irgendwie. Die Ableitung und das Einsetzen klappt nicht. Kann mir jemand einen Lösungsansatz geben? Die Lösung an sich habe ich, aber ich komme eben nicht drauf.

Herzlichen Dank vorab!
Grüße

#2

Also, ob du den term durch x teilen musst, kann ich dir nicht sagen…
Aber bei der Ableitung kann ich dir helfen…
Also, die Ableitung von 2/x ist -2/x^2, denn 2/x = 2*x^(-1), davon die Ableitung = 2*-1*x^(-2) —> -2/x^2

Dann kommt Wurzel (x)/x, wobei ich da denke, bezieht sich die wurzel nur auf das X im Zähler bezieht?
Das kannst du auch so schreiben : Wurzel (x) / x = x^0,5*x^-1
Die Ableitung von u=x^0,5 =u’= 0,5x^(-0,5)
Die Ableitung von v=x^(-1) =v’= -1*x^(-2) = -x^(-2)

Dann kommt Produktregel f’(x)= u’*v+u*v’

f’(2/x + Wurzel(x)/x) = -2/x^(2) + 0,5x^(-0,5)*x^(-1)+x^(0,5)*-x^(-2)

Wobei ich wie gesagt nicht sicher bin, ob du das erst einmal durch X dividieren musst…aber wenn nicht, kannst du vielleicht auch jetzt den normalen Term so ableiten…
Das Einsetzen sollte doch kein Problem sein oder?

LG
Flashster

#3

Hallo Flashster,

Du machst es Dir und dem Fragesteller unnötig kompliziert. Was ist denn Wurzel(x)/x? Das kann man doch kürzen!

Das kannst du auch so schreiben : Wurzel (x) / x = x^0,5*x^-1

= x^(0,5-1)=x^(-0,5).
Abgeleitet ergibt sich -0,5*x^(-1,5).

f’(x) = -2/x^2 + 0,5x^(-0,5)*x^(-1)+x^(0,5)*-x^(-2)

= -2/x^2 -0,5x^(-1,5). Passt schon. Du hast nur nicht zusammengefasst.

Aber Deine Form! Du bist Leistungskursschülerin, wie ich jetzt weiß. Da musst Du doch richtig mit den Symbolen umgehen! Ich als Lehrer würde Dir da schon Punkte abziehen.

Zum Beispiel: g(x)=x².
g ist eine Funktion. Funktion heißt: Ich füttere g mit einem Wert, und sie spuckt mir einen (anderen) Wert aus.
g(x) ist aber keine Funktion – das ist nämlich schon der Wert von g an der Stelle x, also eine (reelle) Zahl. Die kann ich nicht mehr mit einem Wert füttern.
Demzufolge geht das nicht:

Dann kommt Produktregel f’(x)= u’*v+u*v’

Entweder f’= u’*v+v’*u (Funktionen) oder f’(x)=u’(x)*v(x)+v’(x)*u(x) (Werte).

Das Nächste ist: Wenn ich meine Funktion g ableite, erhalte ich eine neue Funktion g’(x)=2x. Wenn ich g’ mit x füttere, sagt sie mir die Steigung von g an der Stelle x.
Für x kann ich nun verschiedene Sachen einsetzen, z.B. g’(0)=2*0=0, g’(6)=2*6=12, g’(k)=2*k, g’(x+k)=2*(x+k) und g’(x²)=2*x².
Deshalb geht das nicht:

f’(2/x + Wurzel(x)/x) = -2/x^(2) + 0,5x^(-0,5)*x^(-1)+x^(0,5)*-x^(-2)

Das ist nämlich nicht f’(2/x+Wurzel(x)/x), sondern einfach f’(x). Wenn ich für x etwas einsetze, dann bekomme ich die Steigung von f an der Stelle x, nicht an der Stelle (2/x+Wurzel(x)/x).

Ich weiß natürlich, was Du schreiben wolltest: Du wolltest noch einmal deutlich machen, dass Du jetzt nicht nur Wurzel(x)/x ableitest, sondern die ganze gegebene Funktion.
Dafür gibt es auch eine (nicht ganz saubere) Behelfsschreibweise:
(2/x + Wurzel(x)/x)’ = -2/x²-1/2*x-3/2.

Ich denke, nach meinen ausführlichen Erläuterungen ist Dir klar, warum diese Schreibweise nicht ganz sauber ist. (Wenn nicht, siehe P.S.) Aber sie ist immerhin üblich.

Liebe Grüße
Immo

P.S. (2/x+Wurzel(x)/x) ist natürlich auch nur ein Wert, eine reelle Zahl. Von einer Zahl kann man aber keine Steigung bestimmen.
Sauber könnte man schreiben (aber dafür brauch ich LaTeX):

\left(x\mapsto\frac2x+\frac{\sqrt{x}}{x}\right)’
=-\frac{2}{x^2}-\frac{1}{2\sqrt{x^3}}.

Dieser Pfeil heißt „wird abgebildet auf“ und beschreibt damit genau die Funktion f.